Para cada uma das funções a seguir, determine os pontos críticos, os intervalos de crescimento e decrescimento, os pontos de inflexão, os intervalos de concavidade e os limites no infinito (se aplicável). Em seguida, use essas informações para esboçar o gráfico da função.
  1. f(x)=x^{4}-4 x^{3}+10

Passo 1

O enunciado pede uma análise completa da função
f(x)=x^{4}-4x^{3}+10
Isso envolve derivadas para achar pontos críticos e intervalos de crescimento/decrescimento, segunda derivada para inflexão e concavidade, limites em x\to\pm\infty e, por fim, esboçar o gráfico. Vamos usar cálculo de derivadas e teste de sinais.

Passo 2

Primeiro derivamos:
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{4}-4x^{3}+10\bigr)=4x^{3}-12x^{2}=4x^{2}(x-3).
Os pontos críticos satisfazem f'(x)=0:
4x^{2}(x-3)=0 \quad\Longrightarrow\quad x=0\text{ (raiz dupla)},\;x=3.
Para determinar monotonicidade, analisamos o sinal de f'(x):
  • Se x<0: x^{2}>0 e (x-3)<0; \Rightarrow f'(x)<0.
  • Se 0<x<3: x^{2}>0 e (x-3)<0; \Rightarrow f'(x)<0.
  • Se x>3: x^{2}>0 e (x-3)>0; \Rightarrow f'(x)>0.
    Logo,
\text{decrescente em }(-\infty,3), \quad \text{crescente em }(3,\infty).
Em x=0 a derivada zera mas a função continua decrescendo (não há troca de sinal), enquanto em x=3 passamos de decrescente para crescente, caracterizando um mínimo local em x=3.

Passo 3

Agora a segunda derivada:
f''(x)=\frac{d}{dx}\bigl(4x^{3}-12x^{2}\bigr)=12x^{2}-24x=12x(x-2).
Pontos de inflexão onde f''(x)=0:
12x(x-2)=0 \quad\Longrightarrow\quad x=0,\;x=2.
Teste de concavidade pelo sinal de f''(x):
  • Se x<0: x<0 e x-2<0; \Rightarrow f''(x)>0 (côncava para cima).
  • Se 0<x<2: x>0 e x-2<0; \Rightarrow f''(x)<0 (côncava para baixo).
  • Se x>2: x>0 e x-2>0; \Rightarrow f''(x)>0 (côncava para cima).
    Portanto,
\text{côncava para cima em }(-\infty,0)\cup(2,\infty), \quad \text{côncava para baixo em }(0,2).ôô
Os pontos de inflexão são \bigl(0,f(0)\bigr)=(0,10) e \bigl(2,f(2)\bigr)=(2,-6).

Passo 4

Os limites no infinito seguem do termo dominante x^{4}:
\lim_{x\to-\infty}f(x)=+\infty, \quad \lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty.

Passo 5

Juntando tudo para esboçar o gráfico:
  • Pontos críticos: x=0 (ponto de inflexão horizontal, f(0)=10) e x=3 (mínimo local/global, f(3)=3^{4}-4\cdot3^{3}+10=-17).
  • Monotonicidade: decrescente até x=3, crescente depois de x=3.
  • Inflexões em x=0 e x=2.
  • Concavidade: para cima em (-\infty,0) e (2,\infty), para baixo em (0,2).
  • Comportamento nas pontas: vai a +\infty nos dois extremos.
O esboço começa alto à esquerda, decresce côncavo para cima até x=0, muda para côncavo para baixo até x=2, continua decrescendo côncavo para cima até o mínimo em x=3, depois sobe côncavo para cima indefinidamente.

Resposta

Pontos críticos: x=0,3.
Intervalos de crescimento/decrescimento: decrescente em (-\infty,3), crescente em (3,\infty).
Pontos de inflexão: x=0 e x=2.
Intervalos de concavidade: côncava para cima em (-\infty,0)\cup(2,\infty), côncava para baixo em (0,2).
Limites: \lim_{x\to\pm\infty}f(x)=+\infty.

Exercícios relacionados