Para cada uma das funções a seguir, determine os pontos críticos, os intervalos de crescimento e decrescimento, os pontos de inflexão, os intervalos de concavidade e os limites no infinito (se aplicável). Em seguida, use essas informações para esboçar o gráfico da função.
-
Passo 1
O enunciado pede uma análise completa da função
Isso envolve derivadas para achar pontos críticos e intervalos de crescimento/decrescimento, segunda derivada para inflexão e concavidade, limites em
e, por fim, esboçar o gráfico. Vamos usar cálculo de derivadas e teste de sinais.
Passo 2
Primeiro derivamos:
Os pontos críticos satisfazem
:
Para determinar monotonicidade, analisamos o sinal de
:
- Se
: e ; . - Se
: e ; . - Se
: e ; .
Logo,
Em
a derivada zera mas a função continua decrescendo (não há troca de sinal), enquanto em
passamos de decrescente para crescente, caracterizando um mínimo local em
.
Passo 3
Agora a segunda derivada:
Pontos de inflexão onde
:
Teste de concavidade pelo sinal de
:
- Se
: e ; (côncava para cima). - Se
: e ; (côncava para baixo). - Se
: e ; (côncava para cima).
Portanto,
Os pontos de inflexão são
e
.
Passo 4
Os limites no infinito seguem do termo dominante
:
Passo 5
Juntando tudo para esboçar o gráfico:
- Pontos críticos:
(ponto de inflexão horizontal, ) e (mínimo local/global, ). - Monotonicidade: decrescente até
, crescente depois de . - Inflexões em
e . - Concavidade: para cima em
e , para baixo em . - Comportamento nas pontas: vai a
nos dois extremos.
O esboço começa alto à esquerda, decresce côncavo para cima até
, muda para côncavo para baixo até
, continua decrescendo côncavo para cima até o mínimo em
, depois sobe côncavo para cima indefinidamente.
Resposta
Pontos críticos:
.
Intervalos de crescimento/decrescimento: decrescente em , crescente em
.
Pontos de inflexão: e
.
Intervalos de concavidade: côncava para cima em , côncava para baixo em
.
Limites: .
Intervalos de crescimento/decrescimento: decrescente em
Pontos de inflexão:
Intervalos de concavidade: côncava para cima em
Limites: