Para cada uma das funções a seguir, determine os pontos críticos, os intervalos de crescimento e decrescimento, os pontos de inflexão, os intervalos de concavidade e os limites no infinito (se aplicável). Em seguida, use essas informações para esboçar o gráfico da função.
4.
4.
Passo 1
O enunciado pede para
determinarmos os pontos críticos, intervalos de crescimento e decrescimento, pontos de inflexão, intervalos de concavidade e limites no infinito, e depois esboçarmos o gráfico. Vamos usar derivadas para monotonicidade, segunda derivada para concavidade e cálculo de limites para o comportamento em
. Note que o domínio é todo
e que
é uma função par (simétrica em relação ao eixo
).
Passo 2
Calculamos a derivada primeira para achar pontos críticos.
A derivada é
A derivada é
Igualando
vem
, logo o único ponto crítico é
. Como o denominador nunca zera, não há outros pontos críticos.
Passo 3
Estudamos o sinal de
. Como
para todo
, o sinal de
é o mesmo de
. Portanto:
se , então
e
é decrescente em
;
se , então
e
é crescente em
.
se
se
Passo 4
Para pontos de inflexão usamos a segunda derivada. Partindo de
temos
Zeramos
para achar candidatos a inflexão:
dá
. Esses são os únicos pontos onde a concavidade pode mudar.
Passo 5
O sinal de
vem do numerador
. Logo:
para , tem-se
e
é côncava para cima em
;
para , tem-se
e
é côncava para baixo em
.
Assim, os pontos de inflexão são e
.
para
para
Assim, os pontos de inflexão são
Passo 6
Calculamos os limites no infinito usando
:
Como
quando
, segue
Passo 7
Com tudo isso em mãos, esboçamos o gráfico sabendo que:
– o mínimo local está em com
,
– a curva é decrescente até e crescente depois,
– há inflexões em onde
,
– a concavidade muda de para baixo para cima em e de cima para baixo em
,
– ambos os ramos para sobem sem limite.
– o mínimo local está em
– a curva é decrescente até
– há inflexões em
– a concavidade muda de para baixo para cima em
– ambos os ramos para
Resposta
Ponto crítico:
.
Crescimento: .
Decrescimento: .
Pontos de inflexão: e
.
Concavidade para cima: .
Concavidade para baixo: .
Limites:
.
Gráfico: função par, mínimo em , inflexões em
e cresce sem limite para
.
Crescimento:
Decrescimento:
Pontos de inflexão:
Concavidade para cima:
Concavidade para baixo:
Limites:
Gráfico: função par, mínimo em