Para cada uma das funções a seguir, determine os pontos críticos, os intervalos de crescimento e decrescimento, os pontos de inflexão, os intervalos de concavidade e os limites no infinito (se aplicável). Em seguida, use essas informações para esboçar o gráfico da função.
4. f(x)=\ln \left(x^{2}+1\right)

Passo 1

O enunciado pede para f(x)=\ln\bigl(x^2+1\bigr) determinarmos os pontos críticos, intervalos de crescimento e decrescimento, pontos de inflexão, intervalos de concavidade e limites no infinito, e depois esboçarmos o gráfico. Vamos usar derivadas para monotonicidade, segunda derivada para concavidade e cálculo de limites para o comportamento em \pm\infty. Note que o domínio é todo \mathbb{R} e que f é uma função par (simétrica em relação ao eixo y).

Passo 2

Calculamos a derivada primeira para achar pontos críticos.
A derivada é
f'(x)=\frac{d}{dx}\ln\bigl(x^2+1\bigr) =\frac{1}{x^2+1}\cdot 2x =\frac{2x}{x^2+1}.
Igualando f'(x)=0 vem 2x=0, logo o único ponto crítico é x=0. Como o denominador nunca zera, não há outros pontos críticos.

Passo 3

Estudamos o sinal de f'(x)=\tfrac{2x}{x^2+1}. Como x^2+1>0 para todo x, o sinal de f'(x) é o mesmo de 2x. Portanto:
se x<0, então f'(x)<0 e f é decrescente em (-\infty,0);
se x>0, então f'(x)>0 e f é crescente em (0,\infty).

Passo 4

Para pontos de inflexão usamos a segunda derivada. Partindo de
f'(x)=2x\,(x^2+1)^{-1}
temos
f''(x) =2\,(x^2+1)^{-1} +2x\cdot(-1)(x^2+1)^{-2}\cdot 2x =\frac{2(x^2+1)-4x^2}{(x^2+1)^2} =\frac{2-2x^2}{(x^2+1)^2} =2\,\frac{1-x^2}{(x^2+1)^2}.
Zeramos f''(x)=0 para achar candidatos a inflexão: 1-x^2=0 x=\pm1. Esses são os únicos pontos onde a concavidade pode mudar.

Passo 5

O sinal de
f''(x)=2\,\frac{1-x^2}{(x^2+1)^2}
vem do numerador 1-x^2. Logo:
para |x|<1, tem-se 1-x^2>0 e f é côncava para cima em (-1,1);
para |x|>1, tem-se 1-x^2<0 e f é côncava para baixo em (-\infty,-1)\cup(1,\infty).
Assim, os pontos de inflexão são ( -1,\ln2) e (1,\ln2).

Passo 6

Calculamos os limites no infinito usando x^2+1=x^2(1+1/x^2):
f(x)=\ln(x^2+1)=\ln\bigl(x^2(1+1/x^2)\bigr) =2\ln|x|+\ln\bigl(1+1/x^2\bigr).
Como \ln(1+1/x^2)\to0 quando x\to\pm\infty, segue
\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty, \qquad \lim_{x\to-\infty}f(x)=+\infty.

Passo 7

Com tudo isso em mãos, esboçamos o gráfico sabendo que:
– o mínimo local está em x=0 com f(0)=0,
– a curva é decrescente até x=0 e crescente depois,
– há inflexões em x=\pm1 onde f(\pm1)=\ln2,
– a concavidade muda de para baixo para cima em -1 e de cima para baixo em 1,
– ambos os ramos para x\to\pm\infty sobem sem limite.

Resposta

Ponto crítico: x=0.
Crescimento: (0,\infty).
Decrescimento: (-\infty,0).
Pontos de inflexão: \bigl(-1,\ln2\bigr) e \bigl(1,\ln2\bigr).
Concavidade para cima: (-1,1).
Concavidade para baixo: (-\infty,-1)\cup(1,\infty).
Limites:
\displaystyle \lim_{x\to\pm\infty}f(x)=+\infty.
Gráfico: função par, mínimo em (0,0), inflexões em \pm1 e cresce sem limite para \pm\infty.

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