Calcule o limite:
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x \sin (x)}{1-\cos (2 x)}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{x\to0}\frac{x\sin(x)}{1-\cos(2x)}.
Isso envolve limites de funções trigonométricas e podemos usar identidades trigonométricas para simplificar.

Passo 2

Observamos que, quando x\to0, tanto x\sin(x) quanto 1-\cos(2x) tendem a zero, então podemos usar a identidade
1-\cos(2x)=2\sin^2(x)
para reescrever o denominador.

Passo 3

Substituindo na expressão, temos
\frac{x\sin(x)}{1-\cos(2x)} =\frac{x\sin(x)}{2\sin^2(x)} =\frac{x}{2\sin(x)} =\frac{1}{2}\,\frac{x}{\sin(x)}.

Passo 4

Sabemos que
\lim_{x\to0}\frac{x}{\sin(x)}=1.
Portanto,
\lim_{x\to0}\frac{x\sin(x)}{1-\cos(2x)} =\frac{1}{2}\cdot1 =\frac{1}{2}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{2}

Exercícios relacionados