Para cada uma das funções a seguir, determine os pontos críticos, os intervalos de crescimento e decrescimento, os pontos de inflexão, os intervalos de concavidade e os limites no infinito (se aplicável). Em seguida, use essas informações para esboçar o gráfico da função.
2.
2.
Passo 1
O enunciado pede, para
a função
a função
que a gente encontre
os pontos críticos,
os intervalos de crescimento e decrescimento,
os pontos de inflexão e intervalos de concavidade,
além dos limites no infinito e junto às assíntotas,
e use tudo isso para esboçar o gráfico.
os pontos críticos,
os intervalos de crescimento e decrescimento,
os pontos de inflexão e intervalos de concavidade,
além dos limites no infinito e junto às assíntotas,
e use tudo isso para esboçar o gráfico.
Passo 2
Primeiro identificamos o domínio e as assíntotas.
O denominador anula-se em
, então
o domínio é .
Esses valores geram assíntotas verticais em e
.
Para ,
O denominador
o domínio é
Esses valores geram assíntotas verticais em
Para
logo há assíntota horizontal
.
Passo 3
Agora calculamos a derivada primeira para monotonicidade:
O numerador anula-se só em
, que é o único ponto crítico.
O sinal de vem do sinal de
(já que o denominador é sempre positivo fora de
):
para , tem-se
(cresce);
para , tem-se
(decresce).
O sinal de
para
para
Passo 4
Para concavidade, achamos a derivada segunda:
O numerador
é sempre positivo,
então o sinal de é o de
, isto é, de
.
Logo:
para ,
e
(concavidade para cima);
para ,
e
(concavidade para baixo).
Como nos pontos a função não está definida, não há pontos de inflexão no domínio.
então o sinal de
Logo:
para
para
Como nos pontos
Passo 5
Calculamos os limites junto às assíntotas verticais:
em , o denominador
e o numerador
, logo
.
Em , o denominador
, então
.
Analogamente, em , denom positivo (pois
,
já é negativo), dá
,
e em , dá
.
em
Em
Analogamente, em
e em
Passo 6
Com tudo isso reunido, temos:
o único ponto crítico é , onde
;
em ,
muda de positivo para negativo, logo é máximo local;
cresce em e
, decresce em
e
;
é côncava para cima em e para baixo em
;
não há pontos de inflexão;
há assíntotas verticais em e horizontal em
;
e o comportamento nos ramos é:
o único ponto crítico é
em
cresce em
é côncava para cima em
não há pontos de inflexão;
há assíntotas verticais em
e o comportamento nos ramos é:
- Em
, vem de em , cresce concava-up até ao chegar em . - Em
, sai de , cresce concava-down até . - Em
, sai de , decresce concava-down até em . - Em
, sai de em , decresce concava-up e tende a .
Com esses dados ficou fácil esboçar o gráfico com os ramos delimitados pelas assíntotas e o pico em
.
Resposta
Pontos críticos:
(máximo local,
).
Intervalos de crescimento: .
Intervalos de decrescimento: .
Pontos de inflexão: nenhum.
Concavidade para cima em ; para baixo em
.
Assíntotas verticais: .
Assíntota horizontal: .
Limites:
,
,
,
,
.
Esboço: quatro ramos conforme descrito no passo 6.
Intervalos de crescimento:
Intervalos de decrescimento:
Pontos de inflexão: nenhum.
Concavidade para cima em
Assíntotas verticais:
Assíntota horizontal:
Limites:
Esboço: quatro ramos conforme descrito no passo 6.