Para cada uma das funções a seguir, determine os pontos críticos, os intervalos de crescimento e decrescimento, os pontos de inflexão, os intervalos de concavidade e os limites no infinito (se aplicável). Em seguida, use essas informações para esboçar o gráfico da função.
2. f(x)=\frac{x^{2}}{x^{2}-4}

Passo 1

O enunciado pede, para
a função
f(x)=\frac{x^{2}}{x^{2}-4},
que a gente encontre
os pontos críticos,
os intervalos de crescimento e decrescimento,
os pontos de inflexão e intervalos de concavidade,
além dos limites no infinito e junto às assíntotas,
e use tudo isso para esboçar o gráfico.

Passo 2

Primeiro identificamos o domínio e as assíntotas.
O denominador x^{2}-4 anula-se em x=\pm2, então
o domínio é \mathbb{R}\setminus\{\,-2,2\}.
Esses valores geram assíntotas verticais em x=-2 e x=2.
Para x\to\pm\infty,
\lim_{x\to\pm\infty}f(x) =\lim_{x\to\pm\infty}\frac{x^{2}}{x^{2}-4}=1,
logo há assíntota horizontal y=1.

Passo 3

Agora calculamos a derivada primeira para monotonicidade:
f'(x) =\frac{(2x)(x^{2}-4)-x^{2}\cdot(2x)}{(x^{2}-4)^{2}} =\frac{-8x}{(x^{2}-4)^{2}}.
O numerador anula-se só em x=0, que é o único ponto crítico.
O sinal de f'(x) vem do sinal de -8x (já que o denominador é sempre positivo fora de \pm2):
para x<0, tem-se f'(x)>0 (cresce);
para x>0, tem-se f'(x)<0 (decresce).

Passo 4

Para concavidade, achamos a derivada segunda:
f'(x)=-8x\,(x^{2}-4)^{-2} \;\Longrightarrow\; f''(x) =8\;\frac{3x^{2}+4}{(x^{2}-4)^{3}}.
O numerador 3x^{2}+4 é sempre positivo,
então o sinal de f''(x) é o de (x^{2}-4)^{3}, isto é, de x^{2}-4.
Logo:
para |x|>2, x^{2}-4>0 e f''(x)>0 (concavidade para cima);
para |x|<2, x^{2}-4<0 e f''(x)<0 (concavidade para baixo).
Como nos pontos x=\pm2 a função não está definida, não há pontos de inflexão no domínio.

Passo 5

Calculamos os limites junto às assíntotas verticais:
em x\to2^{-}, o denominador (x^{2}-4)\to0^{-} e o numerador \to4^{+}, logo
\lim_{x\to2^{-}}f(x)=-\infty.
Em x\to2^{+}, o denominador \to0^{+}, então
\lim_{x\to2^{+}}f(x)=+\infty.
Analogamente, em x\to-2^{-}, denom positivo (pois (x+2)\to0^{-}, (x-2) já é negativo), dá
\lim_{x\to-2^{-}}f(x)=+\infty,
e em x\to-2^{+}, dá
\lim_{x\to-2^{+}}f(x)=-\infty.

Passo 6

Com tudo isso reunido, temos:
o único ponto crítico é x=0, onde f(0)=0;
em x=0, f' muda de positivo para negativo, logo é máximo local;
cresce em (-\infty,-2) e (-2,0), decresce em (0,2) e (2,\infty);
é côncava para cima em (-\infty,-2)\cup(2,\infty) e para baixo em (-2,2);
não há pontos de inflexão;
há assíntotas verticais em x=\pm2 e horizontal em y=1;
e o comportamento nos ramos é:
  • Em (-\infty,-2), f vem de 1^{+} em -\infty, cresce concava-up até +\infty ao chegar em -2^{-}.
  • Em (-2,0), sai de -\infty, cresce concava-down até (0,0).
  • Em (0,2), sai de (0,0), decresce concava-down até -\infty em 2^{-}.
  • Em (2,\infty), sai de +\infty em 2^{+}, decresce concava-up e tende a 1^{+}.
Com esses dados ficou fácil esboçar o gráfico com os ramos delimitados pelas assíntotas e o pico em (0,0).

Resposta

Pontos críticos: x=0 (máximo local, f(0)=0).
Intervalos de crescimento: (-\infty,-2)\cup(-2,0).
Intervalos de decrescimento: (0,2)\cup(2,\infty).
Pontos de inflexão: nenhum.
Concavidade para cima em (-\infty,-2)\cup(2,\infty); para baixo em (-2,2).
Assíntotas verticais: x=-2,2.
Assíntota horizontal: y=1.
Limites:
\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=1,
\lim_{x\to2^-}f(x)=-\infty,
\lim_{x\to2^+}f(x)=+\infty,
\lim_{x\to-2^-}f(x)=+\infty,
\lim_{x\to-2^+}f(x)=-\infty.
Esboço: quatro ramos conforme descrito no passo 6.

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