Para cada uma das funções a seguir, determine os pontos críticos, os intervalos de crescimento e decrescimento, os pontos de inflexão, os intervalos de concavidade e os limites no infinito (se aplicável). Em seguida, use essas informações para esboçar o gráfico da função.
6.
6.
Passo 1
O enunciado pede a análise completa da função
Conteúdo: estudo de domínio, derivada primeira para monotonicidade e pontos críticos, derivada segunda para concavidade e pontos de inflexão, limites no infinito (ou nas fronteiras do domínio) e esboço do gráfico.
Passo 2
Determinar o domínio de
exige
, logo
Nos extremos do domínio temos
Não há limites em
porque o domínio é limitado.
Passo 3
Calcular a derivada primeira por regra do produto:
Os pontos críticos no interior do domínio satisfazem
, ou seja
Passo 4
Estudar o sinal de
decrescente em }\bigl[-\sqrt{5},-\sqrt{5/2}\bigr],\
crescente em\bigl[-\sqrt{5/2},\sqrt{5/2}\bigr],\
decrescente em\bigl[\sqrt{5/2},\sqrt{5}\bigr]. \end{cases}]
Passo 5
Calcular a derivada segunda por quociente:
Anulando o numerador,
ou
. A segunda solução daria
, fora do domínio, logo só há mudança de concavidade em
.
Passo 6
Sinal de
(denominador sempre
em
):
- Para
, tem-se e , logo : concavidade para cima em . - Para
, tem-se e , logo : concavidade para baixo em .
Ponto de inflexão em, onde .
Passo 7
Avaliar
nos pontos mais importantes:
Logo
Resposta
Domínio:
.
Pontos críticos (interiores): .
Monotonicidade:
Pontos críticos (interiores):
Monotonicidade:
Extremos relativos:
Concavidade: concava para cima em
, concava para baixo em
.
Ponto de inflexão: .
Valores nos extremos do domínio: .
Não há limites em (domínio é limitado).
Ponto de inflexão:
Valores nos extremos do domínio:
Não há limites em
Esboço do gráfico: começa em
, decai até
, sobe até
mudando de concavidade, continua subindo até
, depois desce retornando a
.