Em cada uma das funções a seguir, determine os pontos estacionários e classifique-os como máximos ou mínimo locais, ou como pontos de sela, quando for o caso.
j(x, y)=x y+2 x-y-2;

Passo 1

O enunciado dá a função j(x,y)=x y+2 x-y-2 (definida em todo \mathbb{R}^2) e pede:
  • Determinar os pontos estacionários (ou críticos), ou seja, os pontos onde o gradiente é zero.
  • Classificar cada ponto crítico como máximo local, mínimo local ou ponto de sela.
Informações relevantes fornecidas: expressão explícita de j(x,y). Não há restrição de domínio além de \mathbb{R}^2.

Passo 2

O que é um ponto estacionário? É um ponto onde todas as derivadas parciais primeiras se anulam. Formalmente, o gradiente
\nabla j(x,y)=\left(\frac{\partial j}{\partial x},\,\frac{\partial j}{\partial y}\right)
deve ser o vetor nulo.
Vamos calcular as derivadas parciais primeiras. Lembre que, ao derivar em relação a x, tratamos y como constante, e vice-versa.
Derivada parcial em relação a x:
\frac{\partial j}{\partial x}= \frac{\partial}{\partial x}\big(xy+2x-y-2\big)=y+2.
Derivada parcial em relação a y:
\frac{\partial j}{\partial y}= \frac{\partial}{\partial y}\big(xy+2x-y-2\big)=x-1.
Portanto
\nabla j(x,y)=(y+2,\;x-1).

Passo 3

Para pontos estacionários resolvemos o sistema
\begin{cases} y+2=0,\\[4pt] x-1=0. \end{cases}
Da primeira equação vem y=-2. Da segunda vem x=1. Logo existe exatamente um ponto crítico:
( x,y )=(1,-2).]

Passo 4

Agora vamos classificar o ponto crítico usando a matriz Hessiana (matriz das segundas derivadas). A Hessiana é
H(x,y)=\begin{pmatrix} \frac{\partial^2 j}{\partial x^2} & \frac{\partial^2 j}{\partial x\partial y}\\[6pt] \frac{\partial^2 j}{\partial y\partial x} & \frac{\partial^2 j}{\partial y^2} \end{pmatrix}.
Calcule as segundas derivadas:
\frac{\partial^2 j}{\partial x^2}= \frac{\partial}{\partial x}(y+2)=0,
\frac{\partial^2 j}{\partial y^2}= \frac{\partial}{\partial y}(x-1)=0,
\frac{\partial^2 j}{\partial x\partial y}= \frac{\partial}{\partial y}(y+2)=1,
\frac{\partial^2 j}{\partial y\partial x}= \frac{\partial}{\partial x}(x-1)=1.
Portanto a Hessiana é a matriz constante
H=\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt]1 & 0\end{pmatrix}.
A regra usual (teste das segundas derivadas para funções de duas variáveis) usa o determinante de H:
D=\det(H)=\frac{\partial^2 j}{\partial x^2}\cdot\frac{\partial^2 j}{\partial y^2}-\left(\frac{\partial^2 j}{\partial x\partial y}\right)^2.
Substituindo,
D=0\cdot 0 - 1^2 = -1.
As conclusões do teste são:
  • Se D>0 e \frac{\partial^2 j}{\partial x^2}>0 então mínimo local.
  • Se D>0 e \frac{\partial^2 j}{\partial x^2}<0 então máximo local.
  • Se D<0 então ponto de sela.
  • Se D=0 o teste é inconclusivo.
Aqui D=-1<0. Logo o ponto crítico (1,-2) é um ponto de sela.
Explicação intuitiva: a Hessiana tem autovalores de sinais opostos (pode-se verificar que os autovalores de \begin{pmatrix}0&1\\\ 1&0\end{pmatrix} são 1 e -1), o que indica que em algumas direções j cresce e em outras decresce — característico de sela.]

Passo 5

Para fixar a intuição, vamos ver variações de j perto de (1,-2). Tome um pequeno parâmetro \varepsilon.
  1. Na direção x=1+\varepsilon,\;y=-2+\varepsilon (diagonal no mesmo sentido):
j(1+\varepsilon,-2+\varepsilon)=(1+\varepsilon)(-2+\varepsilon)+2(1+\varepsilon)-(-2+\varepsilon)-2=\varepsilon^2>0
para \varepsilon\neq 0 pequeno, ou seja, j aumenta nessa direção.
  1. Na direção x=1+\varepsilon,\;y=-2-\varepsilon (diagonal oposta):
j(1+\varepsilon,-2-\varepsilon)=(1+\varepsilon)(-2-\varepsilon)+2(1+\varepsilon)-(-2-\varepsilon)-2=-\varepsilon^2<0,
ou seja, j diminui nessa direção.
Esses dois comportamentos opostos ao redor do ponto mostram concretamente que (1,-2) não é nem máximo nem mínimo, mas um ponto de sela.

Resposta

(1,-2) é um ponto de sela.

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