Em cada uma das funções a seguir, determine os pontos estacionários e classifique-os como máximos ou mínimo locais, ou como pontos de sela, quando for o caso. j(x, y)=x y+2 x-y-2;
Passo 1
O enunciado dá a função j(x,y)=x y+2 x-y-2 (definida em todo \mathbb{R}^2) e pede:
Determinar os pontos estacionários (ou críticos), ou seja, os pontos onde o gradiente é zero.
Classificar cada ponto crítico como máximo local, mínimo local ou ponto de sela.
Informações relevantes fornecidas: expressão explícita de j(x,y). Não há restrição de domínio além de \mathbb{R}^2.
Passo 2
O que é um ponto estacionário? É um ponto onde todas as derivadas parciais primeiras se anulam. Formalmente, o gradiente
Se D>0 e \frac{\partial^2 j}{\partial x^2}>0 então mínimo local.
Se D>0 e \frac{\partial^2 j}{\partial x^2}<0 então máximo local.
Se D<0 então ponto de sela.
Se D=0 o teste é inconclusivo.
Aqui D=-1<0. Logo o ponto crítico (1,-2) é um ponto de sela.
Explicação intuitiva: a Hessiana tem autovalores de sinais opostos (pode-se verificar que os autovalores de \begin{pmatrix}0&1\\\ 1&0\end{pmatrix} são 1 e -1), o que indica que em algumas direções j cresce e em outras decresce — característico de sela.]
Passo 5
Para fixar a intuição, vamos ver variações de j perto de (1,-2). Tome um pequeno parâmetro \varepsilon.
Na direção x=1+\varepsilon,\;y=-2+\varepsilon (diagonal no mesmo sentido):