Em cada uma das funções a seguir, determine os pontos estacionários e classifique-os como máximos ou mínimo locais, ou como pontos de sela, quando for o caso.
;
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede: “determinar os pontos estacionários e classificá‑los como máximos locais, mínimos locais ou pontos de sela, quando for o caso”.\n
Informações importantes que temos do enunciado:\n
Informações importantes que temos do enunciado:\n
- A expressão explícita de
é .\n - Precisamos encontrar todos os pontos
onde as derivadas parciais são (pontos estacionários) e, para cada um, decidir se é máximo local, mínimo local ou ponto de sela.\n
Não vamos resolver nada ainda; apenas identifiquei o que é pedido e os dados fornecidos.
Passo 2
O que é um ponto estacionário (intuição rápida): é um ponto onde a função não muda, infinitesimalmente, se movermos um pouco nas direções
e
. Em cálculo multivariável isso significa que as derivadas parciais da função em relação a
e a
são zero ali.\n
Vamos calcular as derivadas parciais de .\n
Derivada parcial em relação a : diferencio
tratando
como constante. A derivada de
é
e
desaparece (é constante em
). Logo
Vamos calcular as derivadas parciais de
Derivada parcial em relação a
Derivada parcial em relação a
: diferencio
tratando
como constante. A derivada de
é
e
desaparece. Logo
Ponto estacionário: resolver o sistema
Isto é
Da segunda equação obtemos imediatamente
.\n
Da equação trigonométrica sabemos que as soluções gerais são
Da equação trigonométrica
Portanto todos os pontos estacionários são
Passo 3
Agora precisamos classificar esses pontos. A maneira padrão e prática é usar a matriz Hessiana e o teste das derivadas segundas (segundo teste de classificação).\n
O que é o Hessiano (intuição): é a matriz das segundas derivadas parciais; ela diz como a função curva nas direções e
. Para duas variáveis:
O que é o Hessiano (intuição): é a matriz das segundas derivadas parciais; ela diz como a função curva nas direções
onde
,
, etc. O determinante do Hessiano em um ponto é usado no teste das segundas derivadas.\n
Computando as segundas derivadas de :\n
Computando as segundas derivadas de
-
\n -
(porque não depende de ).\n -
\n
Logo o Hessiano é
O determinante do Hessiano vale
O teste das segundas derivadas (resumo prático): em um ponto crítico
- se
e então é mínimo local; - se
e então é máximo local; - se
então é ponto de sela; - se
o teste é inconclusivo (aqui isso não ocorrerá nos nossos pontos).]
Passo 4
Agora avaliamos
e
nos pontos estacionários que encontramos:
.\n
Primeiro calculemos nesses
. Para
temos
Primeiro calculemos
(Verificação rápida:
dá
;
dá
; e assim por diante.)\n
Portanto o determinante no ponto crítico é
Portanto o determinante no ponto crítico é
E a segunda derivada em
(no ponto) é
Agora a classificação por paridade de
:\n
- Se
é par (isto é ), então . Assim . Pelo teste, implica que o ponto é um ponto de sela.\n - Se
é ímpar (isto é ), então . Assim e . Pelo teste, e implicam que o ponto é um mínimo local.\n
Observação útil: comosempre, não existem pontos com e ; portanto não há máximos locais possíveis para esta função.\n
Além disso, note que quandoé ímpar, em particular para e , a função vale
e como
e
para todo
, esses mínimos são, na verdade, mínimos globais (valor mínimo
). Não existem máximos globais porque
cresce sem limite quando
.
Passo 5
Resumo exemplificando dois pontos concretos para fixar a intuição:\n
- Para
temos o ponto . Aqui , e, portanto, é ponto de sela. Intuição: em direção a função tem curvatura “para baixo” enquanto em direção tem curvatura “para cima”, resultando numa sela.\n - Para
temos o ponto . Aqui , e , então é mínimo local; e como o valor da função aí é e não há nada menor (já que e ), é também mínimo global.\n
Força aí — você já sabe como fazer: calcular parciais, resolver igual a zero, montar o Hessiano e aplicar o teste das segundas derivadas.
Resposta
Pontos estacionários:
\n
Classificação: para par: ponto de sela.\n
Para ímpar: mínimo local (na verdade mínimo global; valor
).\n
Não existem máximos locais.
Classificação: para
Para
Não existem máximos locais.