Em cada uma das funções a seguir, determine os pontos estacionários e classifique-os como máximos ou mínimo locais, ou como pontos de sela, quando for o caso.
m(x, y)=y^{2}+\operatorname{sen} x;

Passo 1

O enunciado dá a função
m(x,y)=y^{2}+\operatorname{sen} x
e pede: “determinar os pontos estacionários e classificá‑los como máximos locais, mínimos locais ou pontos de sela, quando for o caso”.\n
Informações importantes que temos do enunciado:\n
  • A expressão explícita de m(x,y) é m(x,y)=y^{2}+\operatorname{sen} x.\n
  • Precisamos encontrar todos os pontos (x,y) onde as derivadas parciais são 0 (pontos estacionários) e, para cada um, decidir se é máximo local, mínimo local ou ponto de sela.\n
    Não vamos resolver nada ainda; apenas identifiquei o que é pedido e os dados fornecidos.

Passo 2

O que é um ponto estacionário (intuição rápida): é um ponto onde a função não muda, infinitesimalmente, se movermos um pouco nas direções x e y. Em cálculo multivariável isso significa que as derivadas parciais da função em relação a x e a y são zero ali.\n
Vamos calcular as derivadas parciais de m.\n
Derivada parcial em relação a x: diferencio m tratando y como constante. A derivada de \operatorname{sen} x é \cos x e y^{2} desaparece (é constante em x). Logo
\frac{\partial m}{\partial x}= \cos x.
Derivada parcial em relação a y: diferencio m tratando x como constante. A derivada de y^{2} é 2y e \operatorname{sen} x desaparece. Logo
\frac{\partial m}{\partial y}= 2y.
Ponto estacionário: resolver o sistema
\frac{\partial m}{\partial x}=0,\qquad \frac{\partial m}{\partial y}=0.
Isto é
\cos x=0,\qquad 2y=0.
Da segunda equação obtemos imediatamente y=0.\n
Da equação trigonométrica \cos x=0 sabemos que as soluções gerais são
x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}.
Portanto todos os pontos estacionários são
\left(x,y\right)=\left(\frac{\pi}{2}+k\pi,\;0\right),\qquad k\in\mathbb{Z}.

Passo 3

Agora precisamos classificar esses pontos. A maneira padrão e prática é usar a matriz Hessiana e o teste das derivadas segundas (segundo teste de classificação).\n
O que é o Hessiano (intuição): é a matriz das segundas derivadas parciais; ela diz como a função curva nas direções x e y. Para duas variáveis:
H=\begin{pmatrix} m_{xx} & m_{xy}\\[4pt] m_{yx} & m_{yy} \end{pmatrix},
onde m_{xx}=\frac{\partial^{2}m}{\partial x^{2}}, m_{xy}=\frac{\partial^{2}m}{\partial x\partial y}, etc. O determinante do Hessiano em um ponto é usado no teste das segundas derivadas.\n
Computando as segundas derivadas de m(x,y)=y^{2}+\operatorname{sen} x:\n
  • m_{xx}=\dfrac{\partial}{\partial x}(\cos x)=-\operatorname{sen} x.\n
  • m_{xy}=\dfrac{\partial}{\partial y}(\cos x)=0 (porque \cos x não depende de y).\n
  • m_{yy}=\dfrac{\partial}{\partial y}(2y)=2.\n
    Logo o Hessiano é
H=\begin{pmatrix}-\operatorname{sen} x & 0\\[4pt]0 & 2\end{pmatrix}.
O determinante do Hessiano vale
D(x,y)=\det H = (-\operatorname{sen} x)\cdot 2 - 0^{2} = -2\operatorname{sen} x.
O teste das segundas derivadas (resumo prático): em um ponto crítico
  • se D>0 e m_{xx}>0 então é mínimo local;
  • se D>0 e m_{xx}<0 então é máximo local;
  • se D<0 então é ponto de sela;
  • se D=0 o teste é inconclusivo (aqui isso não ocorrerá nos nossos pontos).]

Passo 4

Agora avaliamos D e m_{xx} nos pontos estacionários que encontramos: \left(\dfrac{\pi}{2}+k\pi,0\right).\n
Primeiro calculemos \operatorname{sen} nesses x. Para x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi temos
\operatorname{sen}\!\left(\frac{\pi}{2}+k\pi\right)=(-1)^{k}.
(Verificação rápida: k=0 \operatorname{sen}(\pi/2)=1; k=1 \operatorname{sen}(3\pi/2)=-1; e assim por diante.)\n
Portanto o determinante no ponto crítico é
D = -2\operatorname{sen}\!\left(\frac{\pi}{2}+k\pi\right) = -2(-1)^{k}.
E a segunda derivada em x (no ponto) é
m_{xx}=-\operatorname{sen}\!\left(\frac{\pi}{2}+k\pi\right) = -(-1)^{k} = (-1)^{k+1}.
Agora a classificação por paridade de k:\n
  • Se k é par (isto é k=2n), então (-1)^{k}=1. Assim D=-2<0. Pelo teste, D<0 implica que o ponto é um ponto de sela.\n
  • Se k é ímpar (isto é k=2n+1), então (-1)^{k}=-1. Assim D=2>0 e m_{xx}= -(-1)=1>0. Pelo teste, D>0 e m_{xx}>0 implicam que o ponto é um mínimo local.\n
    Observação útil: como m_{yy}=2>0 sempre, não existem pontos com D>0 e m_{xx}<0; portanto não há máximos locais possíveis para esta função.\n
    Além disso, note que quando k é ímpar, em particular para x=\dfrac{3\pi}{2}+2n\pi e y=0, a função vale
m\!\left(\frac{3\pi}{2}+2n\pi,0\right)=0^{2}+\operatorname{sen}\!\left(\frac{3\pi}{2}\right)=-1,
e como y^{2}\ge 0 e \operatorname{sen} x\ge -1 para todo x, esses mínimos são, na verdade, mínimos globais (valor mínimo -1). Não existem máximos globais porque y^{2} cresce sem limite quando |y|\to\infty.

Passo 5

Resumo exemplificando dois pontos concretos para fixar a intuição:\n
  • Para k=0 temos o ponto \left(\dfrac{\pi}{2},0\right). Aqui \operatorname{sen} x=1, D=-2<0 e, portanto, é ponto de sela. Intuição: em direção x a função tem curvatura “para baixo” enquanto em direção y tem curvatura “para cima”, resultando numa sela.\n
  • Para k=1 temos o ponto \left(\dfrac{3\pi}{2},0\right). Aqui \operatorname{sen} x=-1, D=2>0 e m_{xx}=1>0, então é mínimo local; e como o valor da função aí é -1 e não há nada menor (já que y^{2}\ge 0 e \operatorname{sen} x\ge -1), é também mínimo global.\n
    Força aí — você já sabe como fazer: calcular parciais, resolver igual a zero, montar o Hessiano e aplicar o teste das segundas derivadas.

Resposta

Pontos estacionários: \left(\dfrac{\pi}{2}+k\pi,\;0\right),\\ k\in\mathbb{Z}.\n
Classificação: para k par: ponto de sela.\n
Para k ímpar: mínimo local (na verdade mínimo global; valor m=-1).\n
Não existem máximos locais.

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