Em cada uma das funções a seguir, determine os pontos estacionários e classifique-os como máximos ou mínimo locais, ou como pontos de sela, quando for o caso.
l(x, y)=4 x y-2 x^{4}-y^{2};

Passo 1

O enunciado pede: “Em cada uma das funções a seguir, determine os pontos estacionários e classifique-os como máximos ou mínimos locais, ou como pontos de sela, quando for o caso.” A função dada é
l(x,y)=4xy-2x^{4}-y^{2}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função é l(x,y)=4xy-2x^{4}-y^{2}.
  • Devemos encontrar todos os pontos estacionários (pontos onde o gradiente é nulo) e classificá‑los (máximo local, mínimo local ou ponto de sela).

Passo 2

O que é um ponto estacionário e como achá‑lo (no detalhe, sem pular etapas).
  • Um ponto (x_0,y_0) é estacionário se as derivadas parciais primeiras de l em relação a x e a y são zero ali.
  • As derivadas parciais são obtidas tratando a outra variável como constante. Vou calcular \dfrac{\partial l}{\partial x} e \dfrac{\partial l}{\partial y} passo a passo.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais primeiras.
  • Derivando em relação a x: a derivada de 4xy em relação a x é 4y (tratamos y como constante), a derivada de -2x^{4} é -8x^{3} e a derivada de -y^{2} em relação a x é 0. Logo,
\frac{\partial l}{\partial x}=4y-8x^{3}.
  • Derivando em relação a y: a derivada de 4xy em relação a y é 4x, a derivada de -2x^{4} é 0 e a de -y^{2} é -2y. Assim,
\frac{\partial l}{\partial y}=4x-2y.

Passo 4

Resolver o sistema \dfrac{\partial l}{\partial x}=0\) e \(\dfrac{\partial l}{\partial y}=0\) para encontrar os pontos estacionários. Escrevendo o sistema: \[\begin{cases} 4y-8x^{3}=0,\\[4pt] 4x-2y=0. \end{cases}
Da segunda equação isolamos y\]: \[4x-2y=0 \implies 2y=4x \implies y=2x.\] Substituímos \(y=2x na primeira equação:
4(2x)-8x^{3}=0 \implies 8x-8x^{3}=0 \implies 8x(1-x^{2})=0.
Dividindo por 8 (não afeta soluções):
x(1-x^{2})=0 \implies x(x^{2}-1)=0.
Logo as soluções para x são
x=0,\quad x=1,\quad x=-1.
Usando y=2x obtemos os pontos estacionários:
(x,y)=(0,0),\quad (1,2),\quad (-1,-2).]

Passo 5

Como classificar esses pontos? Aplico o teste das derivadas segundas (teste de Hessiano) e explico bem o que ele diz.
  • Calculamos as segundas derivadas parciais:
\frac{\partial^{2} l}{\partial x^{2}}= \frac{\partial}{\partial x}\big(4y-8x^{3}\big) = -24x^{2},
\frac{\partial^{2} l}{\partial y^{2}}= \frac{\partial}{\partial y}\big(4x-2y\big) = -2,
\frac{\partial^{2} l}{\partial x\partial y}= \frac{\partial}{\partial y}\big(4y-8x^{3}\big) = 4.
  • O discriminante do teste (também chamado de determinante do Hessiano em 2D) é
D(x,y)=\frac{\partial^{2} l}{\partial x^{2}}\cdot\frac{\partial^{2} l}{\partial y^{2}}-\Big(\frac{\partial^{2} l}{\partial x\partial y}\Big)^{2}.
A regra de classificação é:
  • Se D>0 e \dfrac{\partial^{2} l}{\partial x^{2}}<0 em um ponto, então é máximo local.
  • Se D>0 e \dfrac{\partial^{2} l}{\partial x^{2}}>0, então é mínimo local.
  • Se D<0, é ponto de sela.
  • Se D=0, o teste é inconclusivo (não ocorre aqui, exceto possivelmente em um ponto).

Passo 6

Avaliar o Hessiano e classificar no ponto (0,0).
  • Calculo das segundas derivadas em (0,0):
\frac{\partial^{2} l}{\partial x^{2}}(0,0) = -24\cdot 0^{2}=0,
\frac{\partial^{2} l}{\partial y^{2}}(0,0) = -2,
\frac{\partial^{2} l}{\partial x\partial y}(0,0)=4.
  • Assim
D(0,0)=0\cdot(-2)-4^{2} = -16 <0.
  • Como D(0,0)<0, pelo teste, o ponto (0,0) é um ponto de sela.

Passo 7

Avaliar o Hessiano e classificar no ponto (1,2).
  • Calcular segundas derivadas em x=1:
\frac{\partial^{2} l}{\partial x^{2}}(1,2) = -24\cdot 1^{2} = -24,
\frac{\partial^{2} l}{\partial y^{2}}(1,2) = -2,
\frac{\partial^{2} l}{\partial x\partial y}(1,2)=4.
  • Discriminante:
D(1,2)=(-24)\cdot(-2)-4^{2}=48-16=32>0.
  • Como D(1,2)>0 e \dfrac{\partial^{2} l}{\partial x^{2}}(1,2)=-24<0, concluímos que (1,2) é um máximo local.

Passo 8

Avaliar o Hessiano e classificar no ponto (-1,-2).
  • As segundas derivadas dependem de x^{2} na componente l_{xx}, portanto em x=-1 temos:
\frac{\partial^{2} l}{\partial x^{2}}(-1,-2) = -24\cdot (-1)^{2} = -24,
\frac{\partial^{2} l}{\partial y^{2}}(-1,-2) = -2,
\frac{\partial^{2} l}{\partial x\partial y}(-1,-2)=4.
  • Discriminante:
D(-1,-2)=(-24)\cdot(-2)-4^{2}=48-16=32>0.
  • Como D(-1,-2)>0 e \dfrac{\partial^{2} l}{\partial x^{2}}(-1,-2)=-24<0, o ponto (-1,-2) também é um máximo local.

Resposta

(0,0) — ponto de sela.
(1,2) — máximo local.
(-1,-2) — máximo local.

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