Em cada uma das funções a seguir, determine os pontos estacionários e classifique-os como máximos ou mínimo locais, ou como pontos de sela, quando for o caso.
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Passo 1
O enunciado pede: “Em cada uma das funções a seguir, determine os pontos estacionários e classifique-os como máximos ou mínimos locais, ou como pontos de sela, quando for o caso.” A função dada é
Informações relevantes fornecidas:
- A função é
. - Devemos encontrar todos os pontos estacionários (pontos onde o gradiente é nulo) e classificá‑los (máximo local, mínimo local ou ponto de sela).
Passo 2
O que é um ponto estacionário e como achá‑lo (no detalhe, sem pular etapas).
- Um ponto
é estacionário se as derivadas parciais primeiras de em relação a e a são zero ali. - As derivadas parciais são obtidas tratando a outra variável como constante. Vou calcular
e passo a passo.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais primeiras.
- Derivando em relação a
: a derivada de em relação a é (tratamos como constante), a derivada de é e a derivada de em relação a é . Logo,
- Derivando em relação a
: a derivada de em relação a é , a derivada de é e a de é . Assim,
Passo 4
Resolver o sistema
Da segunda equação isolamos
na primeira equação:
Dividindo por
(não afeta soluções):
Logo as soluções para
são
Usando
obtemos os pontos estacionários:
Passo 5
Como classificar esses pontos? Aplico o teste das derivadas segundas (teste de Hessiano) e explico bem o que ele diz.
- Calculamos as segundas derivadas parciais:
- O discriminante do teste (também chamado de determinante do Hessiano em 2D) é
A regra de classificação é:
- Se
e em um ponto, então é máximo local. - Se
e , então é mínimo local. - Se
, é ponto de sela. - Se
, o teste é inconclusivo (não ocorre aqui, exceto possivelmente em um ponto).
Passo 6
Avaliar o Hessiano e classificar no ponto
.
- Calculo das segundas derivadas em
:
- Assim
- Como
, pelo teste, o ponto é um ponto de sela.
Passo 7
Avaliar o Hessiano e classificar no ponto
.
- Calcular segundas derivadas em
:
- Discriminante:
- Como
e , concluímos que é um máximo local.
Passo 8
Avaliar o Hessiano e classificar no ponto
.
- As segundas derivadas dependem de
na componente , portanto em temos:
- Discriminante:
- Como
e , o ponto também é um máximo local.