Em cada uma das funções a seguir, determine os pontos estacionários e classifique-os como máximos e mínimos locais, ou como pontos de sela, quando for o caso.
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Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para determinar os pontos estacionários da função $ f(x, y) = x^{2} + y^{2} - 2x + 6y + 6 $ e classificá-los como máximos, mínimos locais ou pontos de sela.
Conteúdo da matéria: Cálculo de funções de várias variáveis, especificamente identificação de pontos críticos (estacionários) e sua classificação usando derivadas parciais e a matriz hessiana.
O que vamos precisar:
- Encontrar as derivadas parciais de $ f $ em relação a $ x $ e $ y $.
- Resolver o sistema onde essas derivadas são iguais a zero para encontrar os pontos estacionários.
- Utilizar a segunda derivada (matriz hessiana) para classificar os pontos encontrados.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de $ f(x, y) $ em relação a $ x $ e $ y $.
A derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $ é:
A derivada parcial de $ f $ em relação a $ y $ é:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar os pontos onde ambas as derivadas parciais são iguais a zero. Ou seja, resolver o sistema:
Resolvendo a primeira equação:
Resolvendo a segunda equação:
Portanto, o ponto estacionário encontrado é $ (1, -3) $.
Passo 4
Para classificar o ponto $ (1, -3) $, vamos utilizar a matriz hessiana, que é composta pelas segundas derivadas parciais de $ f $.
Calculamos as segundas derivadas:
A matriz hessiana $ H $ é então:
Passo 5
Agora, vamos calcular o determinante da matriz hessiana para classificar o ponto crítico.
Como o determinante é positivo e a segunda derivada em relação a $ x $ é positiva ($ \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} = 2 > 0 $), isso indica que o ponto $ (1, -3) $ é um mínimo local.
Resposta
O ponto estacionário da função $ f(x, y) = x^{2} + y^{2} - 2x + 6y + 6 $ é $ (1, -3) $ e é um mínimo local.