Seja S a superfície exterior do paralelepípedo delimitado pelos planos coordenados e pelos planos x=1, y=2 e z=3 sem a face superior. Calcule o fluxo do campo vetorial F(x, y, z)=(2 x, 2 y, 1) através de S, tomando S orientada com o campo normal apontado para fora.

Passo 1

O enunciado pede o fluxo do campo vetorial F(x,y,z) = (2x,2y,1) através da superfície S que é a ‘casca’ do paralelepípedo 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 2, 0 ≤ z ≤ 3 sem a face superior (z=3), com normal apontando para fora. O conteúdo principal aqui é fluxo de campo vetorial e o Teorema da Divergência para facilitar o cálculo.

Passo 2

Para usar o Teorema da Divergência, primeiro calculamos a divergência de F. A divergência é dada por
nablacdot F = partialpartial x(2x) + partialpartial y(2y) + partialpartial z(1) = 2 + 2 + 0 = 4
O Teorema da Divergência diz que o fluxo de F através de toda a superfície fechada ∂V do volume V é igual à integral tripla da divergência sobre V. Aqui V é o paralelepípedo completo, com volume V = 1·2·3 = 6. Logo,
Phifechada = integral triplaV (nablacdot F),dV = 4 times 6 = 24
Porém, nossa superfície S exclui a face superior em z=3. Precisamos então subtrair o fluxo através dessa face para obter o fluxo apenas pelas demais faces.

Passo 3

Na face superior (z=3), o vetor normal para fora é n = (0,0,1). O campo F nessa face é F(x,y,3) = (2x,2y,1), e o produto escalar F·n = 1. Assim o fluxo nessa face é
Phitopo = integral dupla[0,1]times[0,2] 1,dx,dy = área = 1times2 = 2á
Finalmente, o fluxo através de S (todas as faces menos o topo) é a diferença entre o fluxo da superfície fechada e o fluxo do topo: 24 - 2 = 22.

Resposta

22

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