Seja
a superfície exterior do paralelepípedo delimitado pelos planos coordenados e pelos planos
e
sem a face superior. Calcule o fluxo do campo vetorial
através de
, tomando
orientada com o campo normal apontado para fora.
Passo 1
O enunciado pede o fluxo do campo vetorial F(x,y,z) = (2x,2y,1) através da superfície S que é a ‘casca’ do paralelepípedo 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 2, 0 ≤ z ≤ 3 sem a face superior (z=3), com normal apontando para fora. O conteúdo principal aqui é fluxo de campo vetorial e o Teorema da Divergência para facilitar o cálculo.
Passo 2
Para usar o Teorema da Divergência, primeiro calculamos a divergência de F. A divergência é dada por
O Teorema da Divergência diz que o fluxo de F através de toda a superfície fechada ∂V do volume V é igual à integral tripla da divergência sobre V. Aqui V é o paralelepípedo completo, com volume V = 1·2·3 = 6. Logo,
Porém, nossa superfície S exclui a face superior em z=3. Precisamos então subtrair o fluxo através dessa face para obter o fluxo apenas pelas demais faces.
Passo 3
Na face superior (z=3), o vetor normal para fora é n = (0,0,1). O campo F nessa face é F(x,y,3) = (2x,2y,1), e o produto escalar F·n = 1. Assim o fluxo nessa face é
Finalmente, o fluxo através de S (todas as faces menos o topo) é a diferença entre o fluxo da superfície fechada e o fluxo do topo: 24 - 2 = 22.
Resposta
22