com e .
Calcule a área do cone localizada abaixo do plano .
Passo 1
Vamos resolver um exercício de geometria analítica envolvendo cálculo de área de superfícies. O enunciado nos apresenta um cone parametrizado por , onde e . Precisamos calcular a área dessa parte do cone que está abaixo do plano .
Passo 2
Primeiro, vamos entender a parametrização do cone. A função nos dá as coordenadas , e em termos dos parâmetros e . Aqui, controla a “altura” no cone, e controla a posição ao redor do eixo . Como , para encontrar a parte do cone abaixo de , precisamos considerar valores de de 0 a 4.
Passo 3
Para calcular a área de uma superfície parametrizada, usamos a fórmula da área de superfície:
Onde D é o domínio dos parâmetros t e alpha, e times representa o produto vetorial entre as derivadas parciais da parametrização.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas parciais da parametrização varphi(t, alpha) em relação a t e alpha:
partial varphipartial t = (cos(alpha), sin(alpha), 1)
partial varphipartial alpha = (-t sin(alpha), t cos(alpha), 0)
Passo 5
Agora, calculamos o produto vetorial dessas duas derivadas:
partial varphipartial t times partial varphipartial alpha = i & j & k cos(alpha) & sin(alpha) & 1 -t sin(alpha) & t cos(alpha) & 0
Resolvendo o determinante:
= i ( sin(alpha) cdot 0 - 1 cdot t cos(alpha) ) - j ( cos(alpha) cdot 0 - 1 cdot (-t sin(alpha)) ) + k ( cos(alpha) cdot t cos(alpha) - sin(alpha) cdot (-t sin(alpha)) )
= - t cos(alpha) i - t sin(alpha) j + t (cos^2(alpha) + sin^2(alpha)) k
Sabendo que cos^2(alpha) + sin^2(alpha) = 1, simplificamos: