Considere o cone parametrizado por
varphi(t, alpha)=(t cos (alpha), t sen(alpha), t)
com t>0 e alpha in[0,2 pi].
Calcule a área do cone localizada abaixo do plano z=4.

Passo 1

Vamos resolver um exercício de geometria analítica envolvendo cálculo de área de superfícies. O enunciado nos apresenta um cone parametrizado por varphi(t, alpha) = (t cos(alpha), t sin(alpha), t), onde t > 0 e alpha in [0, 2pi]. Precisamos calcular a área dessa parte do cone que está abaixo do plano z = 4.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a parametrização do cone. A função varphi(t, alpha) nos dá as coordenadas x, y e z em termos dos parâmetros t e alpha. Aqui, t controla a “altura” no cone, e alpha controla a posição ao redor do eixo z. Como z = t, para encontrar a parte do cone abaixo de z = 4, precisamos considerar valores de t de 0 a 4.

Passo 3

Para calcular a área de uma superfície parametrizada, usamos a fórmula da área de superfície:
A = integral duplaD | partial varphipartial t times partial varphipartial alpha | dt , dalpha
Onde D é o domínio dos parâmetros t e alpha, e times representa o produto vetorial entre as derivadas parciais da parametrização.

Passo 4

Vamos calcular as derivadas parciais da parametrização varphi(t, alpha) em relação a t e alpha:
partial varphipartial t = (cos(alpha), sin(alpha), 1)
partial varphipartial alpha = (-t sin(alpha), t cos(alpha), 0)

Passo 5

Agora, calculamos o produto vetorial dessas duas derivadas:
partial varphipartial t times partial varphipartial alpha = i & j & k cos(alpha) & sin(alpha) & 1 -t sin(alpha) & t cos(alpha) & 0
Resolvendo o determinante:
= i ( sin(alpha) cdot 0 - 1 cdot t cos(alpha) ) - j ( cos(alpha) cdot 0 - 1 cdot (-t sin(alpha)) ) + k ( cos(alpha) cdot t cos(alpha) - sin(alpha) cdot (-t sin(alpha)) )
= - t cos(alpha) i - t sin(alpha) j + t (cos^2(alpha) + sin^2(alpha)) k
Sabendo que cos^2(alpha) + sin^2(alpha) = 1, simplificamos:
= - t cos(alpha) i - t sin(alpha) j + t k

Passo 6

A magnitude desse vetor será:
| partial varphipartial t times partial varphipartial alpha | = raiz (-t cos(alpha))^2 + (-t sin(alpha))^2 + (t)^2 = raiz t^2 cos^2(alpha) + t^2 sin^2(alpha) + t^2 = raiz t^2 ( cos^2(alpha) + sin^2(alpha) + 1 ) = raiz t^2 (1 + 1) = raiz2 t^2 = t raiz2

Passo 7

Agora, configuramos a integral para a área:
A = integral0^2pi integral0^4 t raiz2 , dt , dalpha

Passo 8

Vamos calcular a integral interna em relação a t:
integral0^4 t raiz2 , dt = raiz2 integral0^4 t , dt = raiz2 [ t^22 ]0^4 = raiz2 ( 162 - 0 ) = raiz2 times 8 = 8 raiz2

Passo 9

Agora, calculamos a integral externa em relação a alpha:
A = integral0^2pi 8 raiz2 , dalpha = 8 raiz2 [ alpha ]0^2pi = 8 raiz2 times 2pi = 16 pi raiz2

Resposta

A área do cone localizada abaixo do plano z = 4 é 16 pi raiz2 unidades de área.

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