Para cada uma das funções a seguir:
a) Encontre
;
b) Encontre os ponto de interseção com os eixos;
c) Encontre as assíntotas (se existirem);
d) Encontre os números críticos;
e) Encontre os intervalos de crescimento e decrescimento;
f) Encontre os valores máximos e mínimos locais;
g) Encontre os intervalos de concavidade para cima e para baixo e os pontos de inflexão;
h) Esboce o gráfico da função.
;
a) Encontre
b) Encontre os ponto de interseção com os eixos;
c) Encontre as assíntotas (se existirem);
d) Encontre os números críticos;
e) Encontre os intervalos de crescimento e decrescimento;
f) Encontre os valores máximos e mínimos locais;
g) Encontre os intervalos de concavidade para cima e para baixo e os pontos de inflexão;
h) Esboce o gráfico da função.
Passo 1
O enunciado pede a análise completa da função
: domínio, interseções com eixos, assíntotas, números críticos, monotonia, extremos locais, concavidade, pontos de inflexão e esboço do gráfico. Vamos usar derivadas (primeira e segunda) e estudo de sinal para chegar a todas essas informações.
Passo 2
Para funções polinomiais não há nenhuma restrição de domínio. Logo,
Passo 3
Para achar as interseções com os eixos:
- Eixo
: resolvemos :
Logo as raízes são
- Eixo
Passo 4
Como
é polinomial, não existem assíntotas horizontais, verticais ou oblíquas.
Passo 5
Calculamos a derivada primeira para achar números críticos:
Passo 6
Os números críticos vêm de
, ou seja,
Passo 7
Para determinar monotonia, analisamos o sinal de
:
- Em
: e ⇒ , decrescente. - Em
: ainda e ⇒ , decrescente. - Em
: e ⇒ , crescente.
Passo 8
Como não há troca de sinal de
em
, não há extremo em
. Em
temos de decrescente para crescente, logo um mínimo local em
com valor
Passo 9
Agora a derivada segunda para concavidade e inflexões:
Passo 10
Resolvendo
dá pontos candidatos a inflexão em
e
. Estudo de sinal de
:
- Em
: e ⇒ , côncavo para cima. - Em
: mas ⇒ , côncavo para baixo. - Em
: e ⇒ , côncavo para cima.
Passo 11
Logo, os pontos de inflexão são:
Passo 12
Com todas essas informações podemos esboçar o gráfico: quartica que decresce desde
, passa com tangente horizontal em
, continua descendo até o mínimo em
, depois sobe para
, trocando concavidade em
e em
.
Resposta
D(f)=ℝ
Interseções: com o eixo x em (0,0) (multiplicidade 3) e (2,0); com o eixo y em (0,0)
Assíntotas: nenhuma
Números críticos: x=0 (não extremo), x=3/2 (mínimo local)
f’ sinal: f’<0 em (−∞,3/2), f’>0 em (3/2,∞)
Mínimo local: em (3/2,−27/16); sem máximo local
Concavidade: côncavo para cima em (−∞,0)∪(1,∞), côncavo para baixo em (0,1)
Pontos de inflexão: (0,0) e (1,−1)
Esboço: quartic decrescente até x=3/2, mínimo em 3/2, sobe depois, mudando concavidade em x=0 e x=1.
Interseções: com o eixo x em (0,0) (multiplicidade 3) e (2,0); com o eixo y em (0,0)
Assíntotas: nenhuma
Números críticos: x=0 (não extremo), x=3/2 (mínimo local)
f’ sinal: f’<0 em (−∞,3/2), f’>0 em (3/2,∞)
Mínimo local: em (3/2,−27/16); sem máximo local
Concavidade: côncavo para cima em (−∞,0)∪(1,∞), côncavo para baixo em (0,1)
Pontos de inflexão: (0,0) e (1,−1)
Esboço: quartic decrescente até x=3/2, mínimo em 3/2, sobe depois, mudando concavidade em x=0 e x=1.