Para cada uma das funções a seguir:
a) Encontre D(f);
b) Encontre os ponto de interseção com os eixos;
c) Encontre as assíntotas (se existirem);
d) Encontre os números críticos;
e) Encontre os intervalos de crescimento e decrescimento;
f) Encontre os valores máximos e mínimos locais;
g) Encontre os intervalos de concavidade para cima e para baixo e os pontos de inflexão;
h) Esboce o gráfico da função.
f(x)=x^4-2 x^3;

Passo 1

O enunciado pede a análise completa da função f(x)=x^4-2x^3: domínio, interseções com eixos, assíntotas, números críticos, monotonia, extremos locais, concavidade, pontos de inflexão e esboço do gráfico. Vamos usar derivadas (primeira e segunda) e estudo de sinal para chegar a todas essas informações.

Passo 2

Para funções polinomiais não há nenhuma restrição de domínio. Logo,
D(f)=R

Passo 3

Para achar as interseções com os eixos:
  • Eixo x: resolvemos f(x)=0:
x^4-2x^3=x^3(x-2)=0
Logo as raízes são x=0 (multiplicidade 3) e x=2, dando pontos (0,0) e (2,0).
- Eixo y: é dado por f(0)=0, confirmando o ponto (0,0) no eixo y.

Passo 4

Como f é polinomial, não existem assíntotas horizontais, verticais ou oblíquas.

Passo 5

Calculamos a derivada primeira para achar números críticos:
f'(x)=ddx(x^4-2x^3)=4x^3-6x^2=2x^2(2x-3)

Passo 6

Os números críticos vêm de f'(x)=0, ou seja,
2x^2(2x-3)=0implies x=0(mu< 2), x=tfrac32

Passo 7

Para determinar monotonia, analisamos o sinal de f'(x):
  • Em ( -infty,0): x^2>0 e 2x-3<0 f'<0, decrescente.
  • Em (0,tfrac32): ainda x^2>0 e 2x-3<0 f'<0, decrescente.
  • Em (tfrac32,infty): x^2>0 e 2x-3>0 f'>0, crescente.

Passo 8

Como não há troca de sinal de f' em x=0, não há extremo em x=0. Em x=tfrac32 temos de decrescente para crescente, logo um mínimo local em x=tfrac32 com valor
fl(tfrac32r)=l(tfrac32r)^4-2l(tfrac32r)^3=tfrac8116-tfrac10816=-tfrac2716

Passo 9

Agora a derivada segunda para concavidade e inflexões:
f''(x)=ddx(4x^3-6x^2)=12x^2-12x=12x(x-1)

Passo 10

Resolvendo f''(x)=0 dá pontos candidatos a inflexão em x=0 e x=1. Estudo de sinal de f'':
  • Em ( -infty,0): x<0 e x-1<0 f''>0, côncavo para cima.
  • Em (0,1): x>0 mas x-1<0 f''<0, côncavo para baixo.
  • Em (1,infty): x>0 e x-1>0 f''>0, côncavo para cima.

Passo 11

Logo, os pontos de inflexão são:
(0,f(0))=(0,0), (1,f(1))=(1,-1)

Passo 12

Com todas essas informações podemos esboçar o gráfico: quartica que decresce desde -infty, passa com tangente horizontal em 0, continua descendo até o mínimo em (3/2,-27/16), depois sobe para +infty, trocando concavidade em 0 e em 1.

Resposta

D(f)=ℝ
Interseções: com o eixo x em (0,0) (multiplicidade 3) e (2,0); com o eixo y em (0,0)
Assíntotas: nenhuma
Números críticos: x=0 (não extremo), x=3/2 (mínimo local)
f’ sinal: f’<0 em (−∞,3/2), f’>0 em (3/2,∞)
Mínimo local: em (3/2,−27/16); sem máximo local
Concavidade: côncavo para cima em (−∞,0)∪(1,∞), côncavo para baixo em (0,1)
Pontos de inflexão: (0,0) e (1,−1)
Esboço: quartic decrescente até x=3/2, mínimo em 3/2, sobe depois, mudando concavidade em x=0 e x=1.

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