Um ponto P(x, y) se move ao longo do gráfico da seguinte hipérbole y=1 / x. Se a abscissa varia à razão de 4 unidades por segundo, qual é a taxa de variação da ordenada quando a abscissa é x=1 / 10 ?

Passo 1

A questão nos diz que um ponto P se move sobre a curva definida por y=1/x, com a abscissa variando à taxa dx/dt=4 unidades/s, e pede a taxa de variação da ordenada dy/dt quando x=1/10. O conteúdo aqui é de taxas relacionadas (derivadas em relação ao tempo) e vamos usar derivação de funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever y como função de x: y=x^{-1}. Para encontrar dy/dt, aplicamos a regra da cadeia diferenciando y em relação a x e multiplicando por dx/dt.

Passo 3

Derivando y=x^{-1} em relação a t temos:
y
abla
abla
Agora substituímos dx/dt=4 e x=1/10 em
Finalmente, calculamos:

Passo 4

Portanto, a taxa de variação da ordenada no instante dado é -400 unidades por segundo.

Resposta

-400 unidades por segundo

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