Seja f=f(y, z) um campo escalar de classe C^2, independente da variável x. Seja v=f(y, z) i um campo vetorial que descreve um fluido. Calcule nabla times[v times(nabla times v)]. Esse termo aparece no cálculo de um fluxo estacionário de um fluido viscoso incompressível.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o rotacional do vetor v times (nablatimesv) onde v=f(y,z),i e f é uma função de classe C^2 independente de x. Vamos usar fórmulas de cálculo vetorial: definimos o rotacional, fazemos produto vetorial e depois outro rotacional.

Passo 2

Primeiro a gente calcula nablatimesv. Usando a definição
nablatimesv=(partialy v3-partialz v2),i+(partialz v1-partialx v3),j+(partialx v2-partialy v1),k
Como v=(f,0,0) com f=f(y,z), temos
nablatimesv=(0,,partialz f,,-partialy f)=(0, fz, -fy)

Passo 3

Agora calculamos o produto vetorial vtimes(nablatimesv). Se v=(f,0,0) e nablatimesv=(0,fz,-fy), então
vtimes(nablatimesv)= l(0,,f,fy,,f,fzr)

Passo 4

Por fim, tomamos o rotacional do vetor u=(0, f,fy,f,fz). Usando
nablatimesu=(partialy u3-partialz u2),i+(partialz u1-partialx u3),j+(partialx u2-partialy u1),k,
e lembrando que f não depende de x, calculamos cada componente: todas as diferenças de derivadas se cancelam, dando zero em todas as direções.

Passo 5

Como cada componente resulta em zero, concluímos que o rotacional final é o vetor nulo.

Resposta

(0,0,0)

Exercícios relacionados