Para cada uma das funções a seguir:
a) Encontre
;
b) Encontre os ponto de interseção com os eixos;
c) Encontre as assíntotas (se existirem);
d) Encontre os números críticos;
e) Encontre os intervalos de crescimento e decrescimento;
f) Encontre os valores máximos e mínimos locais;
g) Encontre os intervalos de concavidade para cima e para baixo e os pontos de inflexão;
h) Esboce o gráfico da função.
;
a) Encontre
b) Encontre os ponto de interseção com os eixos;
c) Encontre as assíntotas (se existirem);
d) Encontre os números críticos;
e) Encontre os intervalos de crescimento e decrescimento;
f) Encontre os valores máximos e mínimos locais;
g) Encontre os intervalos de concavidade para cima e para baixo e os pontos de inflexão;
h) Esboce o gráfico da função.
Passo 1
O enunciado pede a análise completa da função
: domínio, interceptos, assíntotas, números críticos, intervalos de crescimento e decrescimento, extremos locais, concavidade, pontos de inflexão e esboço do gráfico. Vamos usar definição de domínio (denominador ≠ 0), limites para assíntotas, derivada primeira para monotonicidade e derivada segunda para concavidade.
Passo 2
Para encontrar o domínio
, exigimos que o denominador não seja zero: x−1 ≠ 0. Logo
Passo 3
Os interceptos com os eixos: • Intercepto em x: f(x)=0 ⇒ numerador x=0 ⇒ ponto (0,0). • Intercepto em y: x=0 ⇒ f(0)=0 ⇒ mesmo ponto (0,0).
Passo 4
As assíntotas: • Vertical em x=1 pois
. • Horizontal em y=1 pois
Passo 5
Calculamos a derivada primeira usando quociente:
Passo 6
Como o numerador é -1, nunca zero, não há pontos onde
. A derivada existe em todo domínio, então não há números críticos internos (x=1 não faz parte do domínio).
O sinal de é sempre negativo em
e
, logo f é estritamente decrescente em todo o domínio e não há máximos ou mínimos locais.
O sinal de
Passo 7
Para concavidade, calculamos a derivada segunda:
Passo 8
Como
em
e
em
, a curva é côncava para baixo em
e côncava para cima em
. Não há pontos onde
dentro do domínio, portanto não há pontos de inflexão.
Passo 9
Esboço do gráfico: hipérbole com assimptotas x=1 e y=1, ramo esquerdo em
decrescente e abaixo de y=1 (passa por (0,0)), ramo direito em
decrescente e acima de y=1 (por exemplo em (2,2)).
Resposta
D(f)=(-∞,1)∪(1,∞); interceptos: único em (0,0); assíntotas: vertical x=1 e horizontal y=1; não há números críticos nem extremos locais; f decrescente em todo o domínio; concavidade para baixo em (-∞,1) e para cima em (1,∞); sem pontos de inflexão; gráfico: hipérbole de duas folhas com as assimptotas indicadas.