Para cada uma das funções a seguir:
a) Encontre D(f);
b) Encontre os ponto de interseção com os eixos;
c) Encontre as assíntotas (se existirem);
d) Encontre os números críticos;
e) Encontre os intervalos de crescimento e decrescimento;
f) Encontre os valores máximos e mínimos locais;
g) Encontre os intervalos de concavidade para cima e para baixo e os pontos de inflexão;
h) Esboce o gráfico da função.
f(x)=xx-1;

Passo 1

O enunciado pede a análise completa da função f(x)=xx-1: domínio, interceptos, assíntotas, números críticos, intervalos de crescimento e decrescimento, extremos locais, concavidade, pontos de inflexão e esboço do gráfico. Vamos usar definição de domínio (denominador ≠ 0), limites para assíntotas, derivada primeira para monotonicidade e derivada segunda para concavidade.

Passo 2

Para encontrar o domínio D(f), exigimos que o denominador não seja zero: x−1 ≠ 0. Logo
D(f)=(-infty,1)cup(1,infty)

Passo 3

Os interceptos com os eixos: • Intercepto em x: f(x)=0 ⇒ numerador x=0 ⇒ ponto (0,0). • Intercepto em y: x=0 ⇒ f(0)=0 ⇒ mesmo ponto (0,0).

Passo 4

As assíntotas: • Vertical em x=1 pois limxto1^pmxx-1=pminfty. • Horizontal em y=1 pois
limxtopminftyxx-1=1

Passo 5

Calculamos a derivada primeira usando quociente:
f'(x)=(x-1)cdot1 - xcdot1(x-1)^2= -1(x-1)^2

Passo 6

Como o numerador é -1, nunca zero, não há pontos onde f'(x)=0. A derivada existe em todo domínio, então não há números críticos internos (x=1 não faz parte do domínio).
O sinal de f'(x) é sempre negativo em (-infty,1) e (1,infty), logo f é estritamente decrescente em todo o domínio e não há máximos ou mínimos locais.

Passo 7

Para concavidade, calculamos a derivada segunda:
f''(x)=2,(x-1)^-3=2(x-1)^3

Passo 8

Como f''(x)<0 em x<1 e f''(x)>0 em x>1, a curva é côncava para baixo em (-infty,1) e côncava para cima em (1,infty). Não há pontos onde f''(x)=0 dentro do domínio, portanto não há pontos de inflexão.

Passo 9

Esboço do gráfico: hipérbole com assimptotas x=1 e y=1, ramo esquerdo em x<1 decrescente e abaixo de y=1 (passa por (0,0)), ramo direito em x>1 decrescente e acima de y=1 (por exemplo em (2,2)).

Resposta

D(f)=(-∞,1)∪(1,∞); interceptos: único em (0,0); assíntotas: vertical x=1 e horizontal y=1; não há números críticos nem extremos locais; f decrescente em todo o domínio; concavidade para baixo em (-∞,1) e para cima em (1,∞); sem pontos de inflexão; gráfico: hipérbole de duas folhas com as assimptotas indicadas.

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