Para cada uma das funções a seguir:
a) Encontre D(f);
b) Encontre os ponto de interseção com os eixos;
c) Encontre as assíntotas (se existirem);
d) Encontre os números críticos;
e) Encontre os intervalos de crescimento e decrescimento;
f) Encontre os valores máximos e mínimos locais;
g) Encontre os intervalos de concavidade para cima e para baixo e os pontos de inflexão;
h) Esboce o gráfico da função.
f(x)=(x^2+1)^3;

Passo 1

O enunciado pede a análise completa da função f(x) = (x^2 + 1)^3, envolvendo domínio, interceptos com os eixos, assíntotas, números críticos, monotonicidade, extremos locais, concavidade, pontos de inflexão e esboço do gráfico.

Passo 2

Para determinar o domínio D(f) observamos que f é composta por um polinômio em x^2+1. Polinômios são definidos para todo x in R, logo
D(f) = (-infty, infty)

Passo 3

Para os interceptos com os eixos: ao eixo y corresponde x=0, então
f(0) = (0^2+1)^3 = 1,
logo o intercepto é (0,1). Para interceptos com o eixo x resolvemos
(x^2+1)^3 = 0
Como $x^2+1>0$ para todo $x$, não há raízes reais, ou seja, nenhum intercepto em x^2+1>0.

Passo 4

Uma vez que f é polinomial (grau 6), não existem assíntotas verticais nem horizontais nem oblíquas. Portanto, não há assíntotas.

Passo 5

Calculamos a derivada de primeira ordem para achar pontos críticos:
f'(x) = 3(x^2+1)^2 cdot 2x = 6x (x^2+1)^2
Pontos críticos são onde f'(x)=0 ou f' é indefinida. Aqui f' é definida para todo x, e f'(x)=0 implica
6x (x^2+1)^2 = 0 Rightarrow x=0

Passo 6

Para estudar monotonicidade, analisamos o sinal de f'(x)=6x (x^2+1)^2. Note que (x^2+1)^2>0 sempre, então o sinal de f' é o mesmo de x:
  • Em x<0, f'(x)<0 (função decrescente).
  • Em x>0, f'(x)>0 (função crescente).
    Portanto, f decresce em (0,infty) e cresce em .

Passo 7

Em x=0 a derivada muda de negativa para positiva, caracterizando um mínimo local. O valor é
f(0)=1 Não há máximos locais.

Passo 8

Para a concavidade, calculamos a segunda derivada:
f''(x) = 6 (x^2+1)^2 + 6x cdot 2(x^2+1) cdot 2x = 6(x^2+1)^2 + 24x^2(x^2+1)
Fatorando:
f''(x) = 6(x^2+1)(5x^2+1)

Passo 9

Como x^2+1>0 e 5x^2+1>0 sempre, temos f''(x)>0 para todo x.
Logo a função é côncava para cima em e não há pontos de inflexão (nenhuma troca de concavidade).

Passo 10

O esboço do gráfico mostra uma curva simétrica em relação ao eixo y, com mínimo em (0,1), decrescendo até x=0 e crescendo depois, sempre côncava para cima e tendendo a +infty para xtopminfty.

Resposta

D(f)=(-∞,∞); intercepto y em (0,1), nenhum intercepto em x; sem assíntotas; número crítico x=0; decrescente em (-∞,0), crescente em (0,∞); mínimo local em (0,1); concavidade para cima em todo o domínio, sem pontos de inflexão; gráfico simétrico, em forma de “U” com vértice em (0,1).

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