Para cada uma das funções a seguir:
a) Encontre
;
b) Encontre os ponto de interseção com os eixos;
c) Encontre as assíntotas (se existirem);
d) Encontre os números críticos;
e) Encontre os intervalos de crescimento e decrescimento;
f) Encontre os valores máximos e mínimos locais;
g) Encontre os intervalos de concavidade para cima e para baixo e os pontos de inflexão;
h) Esboce o gráfico da função.
;
a) Encontre
b) Encontre os ponto de interseção com os eixos;
c) Encontre as assíntotas (se existirem);
d) Encontre os números críticos;
e) Encontre os intervalos de crescimento e decrescimento;
f) Encontre os valores máximos e mínimos locais;
g) Encontre os intervalos de concavidade para cima e para baixo e os pontos de inflexão;
h) Esboce o gráfico da função.
Passo 1
O enunciado pede a análise completa da função
, envolvendo domínio, interceptos com os eixos, assíntotas, números críticos, monotonicidade, extremos locais, concavidade, pontos de inflexão e esboço do gráfico.
Passo 2
Para determinar o domínio
observamos que
é composta por um polinômio em
. Polinômios são definidos para todo
, logo
Passo 3
Para os interceptos com os eixos: ao eixo
corresponde
, então
logo o intercepto é
Como $x^2+1>0$ para todo $x$, não há raízes reais, ou seja, nenhum intercepto em
.
Passo 4
Uma vez que
é polinomial (grau 6), não existem assíntotas verticais nem horizontais nem oblíquas. Portanto, não há assíntotas.
Passo 5
Calculamos a derivada de primeira ordem para achar pontos críticos:
Pontos críticos são onde
Passo 6
Para estudar monotonicidade, analisamos o sinal de
. Note que
sempre, então o sinal de
é o mesmo de
:
- Em
, (função decrescente). - Em
, (função crescente).
Portanto,decresce em e cresce em .
Passo 7
Em
a derivada muda de negativa para positiva, caracterizando um mínimo local. O valor é
Passo 8
Para a concavidade, calculamos a segunda derivada:
Fatorando:
Passo 9
Como
e
sempre, temos
para todo
.
Logo a função é côncava para cima em e não há pontos de inflexão (nenhuma troca de concavidade).
Logo a função é côncava para cima em
Passo 10
O esboço do gráfico mostra uma curva simétrica em relação ao eixo
, com mínimo em
, decrescendo até
e crescendo depois, sempre côncava para cima e tendendo a
para
.
Resposta
D(f)=(-∞,∞); intercepto y em (0,1), nenhum intercepto em x; sem assíntotas; número crítico x=0; decrescente em (-∞,0), crescente em (0,∞); mínimo local em (0,1); concavidade para cima em todo o domínio, sem pontos de inflexão; gráfico simétrico, em forma de “U” com vértice em (0,1).