Para cada uma das funções a seguir:
a) Encontre D(f);
b) Encontre os ponto de interseção com os eixos;
c) Encontre as assíntotas (se existirem);
d) Encontre os números críticos;
e) Encontre os intervalos de crescimento e decrescimento;
f) Encontre os valores máximos e mínimos locais;
g) Encontre os intervalos de concavidade para cima e para baixo e os pontos de inflexão;
h) Esboce o gráfico da função.
f(x)=x+2x;

Passo 1

Temos a função f(x)=x+\frac{2}{x}. O conteúdo é análise de funções (cálculo de domínio, derivadas, assíntotas, monotonia, concavidade e esboço). Vamos precisar de domínio, f’(x), f’’(x), limites e testes de sinal.

Passo 2

Para achar o domínio D(f), lembramos que não podemos dividir por zero. Logo, x\neq0. Assim D(f)= Rsetminus0.
Para os pontos de interseção com os eixos, vemos que não há y-intercepto porque f(0) não existe. Para x-interceptos resolvemos f(x)=0: x+\frac{2}{x}=0\Rightarrow x^2+2=0 sem raízes reais. Portanto não há interseções com os eixos.

Passo 3

Para as assíntotas, primeiro a vertical ocorre onde falta domínio: x=0 é assíntota vertical. Para assíntota oblíqua, calculamos a reta y=ax+b tal que f(x)−(ax+b)→0 quando x→±∞. Como f(x)~x para |x| grandes, temos a=1. Então b=\lim_{x→∞}(f(x)−x)=\lim 2/x=0. Logo, assíntota oblíqua y=x.

Passo 4

Derivando, temos f’(x)=1−2/x^2. Igualando a zero: 1−2/x^2=0\Rightarrow x^2=2\Rightarrow x=±√2. Esses são os números críticos (além de x=0 onde f’ não existe).

Passo 5

Para monotonia, analisamos o sinal de f’(x)=1−2/x^2. Observamos f’(x)>0 se x^2>2 (|x|>√2) e f’(x)<0 se |x|<√2 (com x≠0). Assim f cresce em (−∞,−√2) e (√2,∞), e decresce em (−√2,0) e (0,√2).

Passo 6

Com o teste de mudança de sinal de f’ em x=−√2 temos +→−, logo f(−√2) é máximo local. f(−√2)=−√2+2/(−√2)=−2√2. Em x=√2 temos −→+, logo mínimo local em f(√2)=√2+2/√2=2√2.

Passo 7

Derivando de novo, f’’(x)=4/x^3. Vemos f’’(x)>0 para x>0 (côncava para cima) e f’’(x)<0 para x<0 (côncava para baixo). Não há ponto de inflexão em domínio, pois a mudança de concavidade ocorreria em x=0, que não pertence ao domínio.

Passo 8

Para esboçar, desenhamos duas ramificações: no ramo x<0 decrescente de −∞ até o máximo em (−√2,−2√2), depois decresce de lá até −∞ quando x→0−, aproximando-se da assíntota vertical x=0 e da oblíqua y=x. No ramo x>0 decresce de +∞ até o mínimo em (√2,2√2), depois cresce para +∞ como x→∞ aproximando-se de y=x.

Resposta

O gráfico tem: domínio R{0}, assíntota vertical x=0, oblíqua y=x; sem interceptos; máximo local em (−√2,−2√2), mínimo local em (√2,2√2); cresce em (−∞,−√2)∪(√2,∞), decresce em (−√2,0)∪(0,√2); côncava para baixo em (−∞,0), para cima em (0,∞). Esboço conforme descrito.

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