Para cada uma das funções a seguir:
a) Encontre D(f);
b) Encontre os ponto de interseção com os eixos;
c) Encontre as assíntotas (se existirem);
d) Encontre os números críticos;
e) Encontre os intervalos de crescimento e decrescimento;
f) Encontre os valores máximos e mínimos locais;
g) Encontre os intervalos de concavidade para cima e para baixo e os pontos de inflexão;
h) Esboce o gráfico da função.
f(x)=2 x^2 / 3-x;

Passo 1

Este exercício pede a análise completa da função f(x)=2x^2/3-x: encontrar domínio, interceptos, assíntotas, números críticos, monotonicidade, extremos locais, concavidade, pontos de inflexão e esboçar o gráfico. Vamos usar conceitos de domínio de função, derivada primeira e segunda, teste da primeira derivada para monotonicidade e da segunda para concavidade.

Passo 2

Domínio: Observamos que x^2/3=(x^1/3)^2. A raiz cúbica x^1/3 existe para todo xinR. Elevando ao quadrado continua bem definido. Portanto
D(f)=R

Passo 3

Interceptos com os eixos: Para o eixo y colocamos x=0:
f(0)=2cdot0^2/3-0=0,
logo o ponto é (0,0). Para os zeros da função (eixo x) resolvemos
2x^2/3-x=0
Fatorando x^2/3:
x^2/3(2 - x^1/3)=0,
o que gera x=0 ou x^1/3=2Rightarrow x=8. Assim os interceptos no eixo x são (0,0) e (8,0).

Passo 4

Assíntotas: A função é contínua em R e não apresenta comportamento linear em pminfty nem descontinuidade finita. Logo não existem assíntotas horizontais, verticais ou oblíquas.

Passo 5

Derivada primeira e números críticos: A derivada de 2x^2/3 é
ddx(2x^2/3)=2cdot23x^-1/3=43x^-1/3
Então
f'(x)=43x^-1/3-1
F’(x) é indefinida em x=0. Para f'(x)=0:
43x^-1/3=1Rightarrow x^-1/3=34Rightarrow x=l(43r)^3=6427
Logo os números críticos são x=0 e x=64/27.

Passo 6

Monotonicidade: Estudamos o sinal de f'(x):
  • Para x<0, x^-1/3<0 e f'(x)<0.
  • Para 0, x^-1/3>3/4 e f'(x)>0.
  • Para x>64/27, x^-1/3<3/4 e f'(x)<0.
    Concluímos que f é decrescente em (−∞,0), crescente em (0,64/27) e decrescente em (64/27,∞).

Passo 7

Extremos locais: Em x=0 a derivada troca de sinal de negativa para positiva, indicando mínimo local em (0,0). Em x=64/27 a derivada muda de positiva para negativa, indicando máximo local. O valor é
f(64/27)=2(64/27)^2/3-64/27=2cdot16/9-64/27=32/9-64/27=32/27
Então o máximo local é (64/27,32/27).

Passo 8

Derivada segunda e concavidade: Da derivada
f'(x)=43x^-1/3-1
vem
f''(x)=-49x^-4/3
Como x^-4/3>0 para xneq0 e o coeficiente é negativo, temos f''(x)<0 em (−∞,0) e em (0,∞). Logo f é côncava para baixo em todo o domínio e não há região de concavidade para cima.

Passo 9

Pontos de inflexão: Não há, pois não ocorre troca de sinal em f''(x) (permanece negativa de ambos os lados de x=0).

Passo 10

Esboço do gráfico: A curva decresce até (0,0) (mínimo), sobe até (64/27,32/27) (máximo) e depois decresce indefinidamente. A concavidade é sempre para baixo. Os interceptos são (0,0) e (8,0).

Resposta

D(f)=\mathbb{R}; interceptos em (0,0) e (8,0); não há assíntotas; números críticos: x=0 e x=64/27; f é decrescente em (−∞,0) e (64/27,∞), crescente em (0,64/27); mínimo local em (0,0), máximo local em (64/27,32/27); f é côncava para baixo em todo o domínio, sem pontos de inflexão; esboço conforme descrito.

Exercícios relacionados