Para cada uma das funções a seguir:
a) Encontre
;
b) Encontre os ponto de interseção com os eixos;
c) Encontre as assíntotas (se existirem);
d) Encontre os números críticos;
e) Encontre os intervalos de crescimento e decrescimento;
f) Encontre os valores máximos e mínimos locais;
g) Encontre os intervalos de concavidade para cima e para baixo e os pontos de inflexão;
h) Esboce o gráfico da função.
;
a) Encontre
b) Encontre os ponto de interseção com os eixos;
c) Encontre as assíntotas (se existirem);
d) Encontre os números críticos;
e) Encontre os intervalos de crescimento e decrescimento;
f) Encontre os valores máximos e mínimos locais;
g) Encontre os intervalos de concavidade para cima e para baixo e os pontos de inflexão;
h) Esboce o gráfico da função.
Passo 1
Este exercício pede a análise completa da função
: encontrar domínio, interceptos, assíntotas, números críticos, monotonicidade, extremos locais, concavidade, pontos de inflexão e esboçar o gráfico. Vamos usar conceitos de domínio de função, derivada primeira e segunda, teste da primeira derivada para monotonicidade e da segunda para concavidade.
Passo 2
Domínio: Observamos que
. A raiz cúbica
existe para todo
. Elevando ao quadrado continua bem definido. Portanto
Passo 3
Interceptos com os eixos: Para o eixo y colocamos
:
logo o ponto é
Fatorando
:
o que gera
Passo 4
Assíntotas: A função é contínua em
e não apresenta comportamento linear em
nem descontinuidade finita. Logo não existem assíntotas horizontais, verticais ou oblíquas.
Passo 5
Derivada primeira e números críticos: A derivada de
é
Então
F’(x) é indefinida em
. Para
:
Logo os números críticos são
Passo 6
Monotonicidade: Estudamos o sinal de
:
- Para
, e . - Para
, e . - Para
, e .
Concluímos queé decrescente em , crescente em e decrescente em .
Passo 7
Extremos locais: Em
a derivada troca de sinal de negativa para positiva, indicando mínimo local em
. Em
a derivada muda de positiva para negativa, indicando máximo local. O valor é
Então o máximo local é
Passo 8
Derivada segunda e concavidade: Da derivada
vem
Como
para
e o coeficiente é negativo, temos
em
e em
. Logo
é côncava para baixo em todo o domínio e não há região de concavidade para cima.
Passo 9
Pontos de inflexão: Não há, pois não ocorre troca de sinal em
(permanece negativa de ambos os lados de
).
Passo 10
Esboço do gráfico: A curva decresce até
(mínimo), sobe até
(máximo) e depois decresce indefinidamente. A concavidade é sempre para baixo. Os interceptos são
e
.
Resposta
D(f)=\mathbb{R}; interceptos em (0,0) e (8,0); não há assíntotas; números críticos: x=0 e x=64/27; f é decrescente em (−∞,0) e (64/27,∞), crescente em (0,64/27); mínimo local em (0,0), máximo local em (64/27,32/27); f é côncava para baixo em todo o domínio, sem pontos de inflexão; esboço conforme descrito.