Para cada uma das funções a seguir:
a) Encontre D(f);
b) Encontre os ponto de interseção com os eixos;
c) Encontre as assíntotas (se existirem);
d) Encontre os números críticos;
e) Encontre os intervalos de crescimento e decrescimento;
f) Encontre os valores máximos e mínimos locais;
g) Encontre os intervalos de concavidade para cima e para baixo e os pontos de inflexão;
h) Esboce o gráfico da função.
f(x)=3 x+1(x+2)(x-3);

Passo 1

O enunciado pede uma análise completa da função racional f(x)=3x+1(x+2)(x-3), incluindo domínio, zeros, assíntotas, monotonicidade, extremos, concavidade e esboço do gráfico. Vamos usar conceitos de análise de funções racionais, derivadas e derivadas segundas.

Passo 2

Para achar o domínio de f, exigimos que o denominador seja diferente de zero: (x+2)(x-3)neq0. Logo, xneq-2 e xneq3. Assim, D(f)=Rsetminus-2,3.

Passo 3

Os pontos de interseção com os eixos são dados por:
  • Eixo x: numerador zero em 3x+1=0 Rightarrow x=-tfrac13. Então o zero é (-tfrac13,0).
  • Eixo y: plugando x=0,
f(0)=1(2)(-3)=-tfrac16,
logo o ponto (0,-tfrac16).

Passo 4

Para as assíntotas:
  • Verticais onde o denominador some: x=-2 e x=3.
  • Horizontal: como grau do numerador (1) é menor que o do denominador (2), temos
y=0
como assíntota horizontal.

Passo 5

Calculamos a derivada usando a regra do quociente. Com N=3x+1 e D=(x+2)(x-3) vem
f'(x)=N',D - N,D'D^2 = 3(x^2 - x -6) - (3x+1)(2x-1)(x^2 - x -6)^2 = -3x^2+2x+17(x^2 - x -6)^2
O numerador 3x^2+2x+17 nunca zera (discriminante negativo), e o denominador ao quadrado é sempre positivo no domínio. Logo f'(x)<0 para todo x em D(f). Não há pontos críticos internos ( f'=0 não ocorre) e f' não muda de sinal.

Passo 6

Como f'(x)<0 em cada intervalo de continuidade, concluímos que f é estritamente decrescente em
(-infty,-2),(-2,3),(3,infty)
e não há máximos ou mínimos locais.

Passo 7

Para a concavidade, computamos a segunda derivada e obtemos o sinal de
f''(x)propto (x^2 - x -6),(6x^3+6x^2+102x-22)
O fator x^2-x-6 muda de sinal em x=-2,3 (as assíntotas) e o outro fator tem uma raiz real única em torno de xapprox0.213. Assim:
- Concavidade para baixo ( f''<0) em (-,infty,-2) e (0.213,3).
- Concavidade para cima ( f''>0) em (-2,0.213) e (3,infty).
Há ponto de inflexão em aproximadamente
l(0.213,,f(0.213)r)approx(0.213,-0.266)

Passo 8

Juntando tudo, o esboço mostra:
  • Assimptotas verticais em x=-2,3 e horizontal em y=0.
  • Decréscimo em todos os arcos de domínio.
  • Passagem por (-1/3,0) e (0,-1/6).
  • Curvatura virando em xapprox0.213.

Passo 9

O gráfico então tem três ramos, todos decrescentes, com comportamento:
  • xto-infty: f(x)to0^-.
  • Ao chegar em x=-2^-: fto-infty, e de -2^+: fto+infty.
  • Em x=3^-: fto-infty, e de 3^+: fto+infty.
  • xto+infty: f(x)to0^+

Resposta

a) D(f)=Rsetminus-2,3.
b) Interseções: (-1/3,0) com o eixo x e (0,-1/6) com o eixo y.
c) Assíntotas: verticais em x=-2,,x=3 e horizontal em y=0.
d) Não há pontos críticos ( f'(x) nunca zera no domínio).
e) f é estritamente decrescente em cada intervalo de D(f): (0.213,3).
f) Não há máximos nem mínimos locais (monotonia única).
g) Concavidade para baixo em (-2,0.213) e (3,infty); para cima em (0.213,-0.266) e . Ponto de inflexão em aproximadamente .
h) Gráfico com três ramos decrescentes, respeitando as assíntotas e o ponto de inflexão descritos acima.

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