Para cada uma das funções a seguir:
a) Encontre
;
b) Encontre os ponto de interseção com os eixos;
c) Encontre as assíntotas (se existirem);
d) Encontre os números críticos;
e) Encontre os intervalos de crescimento e decrescimento;
f) Encontre os valores máximos e mínimos locais;
g) Encontre os intervalos de concavidade para cima e para baixo e os pontos de inflexão;
h) Esboce o gráfico da função.
;
a) Encontre
b) Encontre os ponto de interseção com os eixos;
c) Encontre as assíntotas (se existirem);
d) Encontre os números críticos;
e) Encontre os intervalos de crescimento e decrescimento;
f) Encontre os valores máximos e mínimos locais;
g) Encontre os intervalos de concavidade para cima e para baixo e os pontos de inflexão;
h) Esboce o gráfico da função.
Passo 1
O enunciado pede uma análise completa da função racional
, incluindo domínio, zeros, assíntotas, monotonicidade, extremos, concavidade e esboço do gráfico. Vamos usar conceitos de análise de funções racionais, derivadas e derivadas segundas.
Passo 2
Para achar o domínio de
, exigimos que o denominador seja diferente de zero:
. Logo,
e
. Assim,
.
Passo 3
Os pontos de interseção com os eixos são dados por:
- Eixo
: numerador zero em . Então o zero é . - Eixo
: plugando ,
logo o ponto
Passo 4
Para as assíntotas:
- Verticais onde o denominador some:
e . - Horizontal: como grau do numerador (1) é menor que o do denominador (2), temos
como assíntota horizontal.
Passo 5
Calculamos a derivada usando a regra do quociente. Com
e
vem
O numerador
Passo 6
Como
em cada intervalo de continuidade, concluímos que
é estritamente decrescente em
e não há máximos ou mínimos locais.
Passo 7
Para a concavidade, computamos a segunda derivada e obtemos o sinal de
O fator
- Concavidade para baixo (
- Concavidade para cima (
Há ponto de inflexão em aproximadamente
Passo 8
Juntando tudo, o esboço mostra:
- Assimptotas verticais em
e horizontal em . - Decréscimo em todos os arcos de domínio.
- Passagem por
e . - Curvatura virando em
.
Passo 9
O gráfico então tem três ramos, todos decrescentes, com comportamento:
-
: . - Ao chegar em
: , e de : . - Em
: , e de : . -
:
Resposta
a)
.
b) Interseções: com o eixo
e
com o eixo
.
c) Assíntotas: verticais em e horizontal em
.
d) Não há pontos críticos ( nunca zera no domínio).
e) é estritamente decrescente em cada intervalo de
:
.
f) Não há máximos nem mínimos locais (monotonia única).
g) Concavidade para baixo em e
; para cima em
e
. Ponto de inflexão em aproximadamente
.
h) Gráfico com três ramos decrescentes, respeitando as assíntotas e o ponto de inflexão descritos acima.
b) Interseções:
c) Assíntotas: verticais em
d) Não há pontos críticos (
e)
f) Não há máximos nem mínimos locais (monotonia única).
g) Concavidade para baixo em
h) Gráfico com três ramos decrescentes, respeitando as assíntotas e o ponto de inflexão descritos acima.