Para cada uma das funções a seguir:
a) Encontre
;
b) Encontre os ponto de interseção com os eixos;
c) Encontre as assíntotas (se existirem);
d) Encontre os números críticos;
e) Encontre os intervalos de crescimento e decrescimento;
f) Encontre os valores máximos e mínimos locais;
g) Encontre os intervalos de concavidade para cima e para baixo e os pontos de inflexão;
h) Esboce o gráfico da função.
;
a) Encontre
b) Encontre os ponto de interseção com os eixos;
c) Encontre as assíntotas (se existirem);
d) Encontre os números críticos;
e) Encontre os intervalos de crescimento e decrescimento;
f) Encontre os valores máximos e mínimos locais;
g) Encontre os intervalos de concavidade para cima e para baixo e os pontos de inflexão;
h) Esboce o gráfico da função.
Passo 1
O enunciado pede uma análise completa da função
, incluindo domínio, interceptos, assíntotas, números críticos, monotonicidade, extremos locais, concavidade, pontos de inflexão e o esboço do gráfico.
Passo 2
Precisamos encontrar o conjunto de valores de
para os quais
está definida. Como o denominador
exige
, concluímos que o domínio é
Passo 3
Para os interceptos, fazemos: intercepto em
com
, e intercepto em
com
. Temos
logo o intercepto em
Passo 4
As assíntotas surgem quando
ou
. Ao aproximar de
,
e
, dando a assíntota vertical
Quando
Passo 5
Calculamos a primeira derivada para achar números críticos e estudar monotonicidade. Como
,
Passo 6
Não existe solução de
, e
só é indefinida em
, que não pertence ao domínio. Logo, não há números críticos internos.
Para verificar o sinal de , note que o denominador é sempre positivo em
, então
em todo o domínio. Isso mostra que
é estritamente decrescente em
. Como não há pontos críticos, também não existem máximos ou mínimos locais.
Para verificar o sinal de
Passo 7
Agora a segunda derivada. Partindo de
, temos
Passo 8
Como
para todo
, a função é côncava para cima em todo o domínio e não há pontos de inflexão.
Passo 9
O esboço do gráfico deve mostrar:
- A curva tende a
quando e a 0 quando . - Passa em
. - É sempre decrescente e côncava para cima.
- Assíntotas em
e .
Resposta
Resumo dos resultados:
- Domínio:
. - Interceptos: intercepto em
em ; não há intercepto em . - Assíntotas: vertical em
e horizontal em . - Números críticos: nenhum no domínio.
- Monotonicidade:
é estritamente decrescente em . - Extremos locais: não há máximos nem mínimos locais.
- Concavidade: côncava para cima em
; sem pontos de inflexão. - Gráfico: curva decrescente e côncava para cima, com assíntotas em
e , passando por .