Para cada uma das funções a seguir:
a) Encontre D(f);
b) Encontre os ponto de interseção com os eixos;
c) Encontre as assíntotas (se existirem);
d) Encontre os números críticos;
e) Encontre os intervalos de crescimento e decrescimento;
f) Encontre os valores máximos e mínimos locais;
g) Encontre os intervalos de concavidade para cima e para baixo e os pontos de inflexão;
h) Esboce o gráfico da função.
f(x)=4raizx+2;

Passo 1

O enunciado pede uma análise completa da função f(x)=4raizx+2, incluindo domínio, interceptos, assíntotas, números críticos, monotonicidade, extremos locais, concavidade, pontos de inflexão e o esboço do gráfico.

Passo 2

Precisamos encontrar o conjunto de valores de x para os quais f(x) está definida. Como o denominador raizx+2 exige x+2>0, concluímos que o domínio é
D(f)=(-2,,infty)

Passo 3

Para os interceptos, fazemos: intercepto em y com x=0, e intercepto em x com f(x)=0. Temos
f(0)=4raiz0+2=2raiz2,
logo o intercepto em y é (0,2raiz2). Não há intercepto em x porque 4/raizx+2 nunca é zero.

Passo 4

As assíntotas surgem quando xto-2^+ ou xtoinfty. Ao aproximar de -2, raizx+2to0^+ e f(x)to+infty, dando a assíntota vertical
x=-2
Quando xtoinfty, f(x)=4/raizx+2to0, dando a assíntota horizontal
y=0

Passo 5

Calculamos a primeira derivada para achar números críticos e estudar monotonicidade. Como f(x)=4(x+2)^-1/2,
f'(x)=4cdotl(-tfrac12r)(x+2)^-3/2=-2(x+2)^-3/2

Passo 6

Não existe solução de f'(x)=0, e f' só é indefinida em x=-2, que não pertence ao domínio. Logo, não há números críticos internos.
Para verificar o sinal de f'(x)=-2/(x+2)^3/2, note que o denominador é sempre positivo em (-2,infty), então f'(x)<0 em todo o domínio. Isso mostra que f é estritamente decrescente em (-2,infty). Como não há pontos críticos, também não existem máximos ou mínimos locais.

Passo 7

Agora a segunda derivada. Partindo de f'(x)=-2(x+2)^-3/2, temos
f''(x)=-2cdotl(-tfrac32r)(x+2)^-5/2=3(x+2)^-5/2

Passo 8

Como f''(x)>0 para todo x>-2, a função é côncava para cima em todo o domínio e não há pontos de inflexão.

Passo 9

O esboço do gráfico deve mostrar:
  • A curva tende a +infty quando xto-2^+ e a 0 quando xtoinfty.
  • Passa em (0,2raiz2).
  • É sempre decrescente e côncava para cima.
  • Assíntotas em x=-2 e y=0.

Resposta

Resumo dos resultados:
  • Domínio: D(f)=(-2,infty).
  • Interceptos: intercepto em y em (0,2raiz2); não há intercepto em x.
  • Assíntotas: vertical em x=-2 e horizontal em y=0.
  • Números críticos: nenhum no domínio.
  • Monotonicidade: f é estritamente decrescente em (-2,infty).
  • Extremos locais: não há máximos nem mínimos locais.
  • Concavidade: côncava para cima em (-2,infty); sem pontos de inflexão.
  • Gráfico: curva decrescente e côncava para cima, com assíntotas em x=-2 e y=0, passando por (0,2raiz2).

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