Para cada uma das funções a seguir:
a) Encontre
;
b) Encontre os ponto de interseção com os eixos;
c) Encontre as assíntotas (se existirem);
d) Encontre os números críticos;
e) Encontre os intervalos de crescimento e decrescimento;
f) Encontre os valores máximos e mínimos locais;
g) Encontre os intervalos de concavidade para cima e para baixo e os pontos de inflexão;
h) Esboce o gráfico da função.
;
a) Encontre
b) Encontre os ponto de interseção com os eixos;
c) Encontre as assíntotas (se existirem);
d) Encontre os números críticos;
e) Encontre os intervalos de crescimento e decrescimento;
f) Encontre os valores máximos e mínimos locais;
g) Encontre os intervalos de concavidade para cima e para baixo e os pontos de inflexão;
h) Esboce o gráfico da função.
Passo 1
A questão pede para analisar a função f(x)=x^{3/2} em diversos aspectos: domínio, interseções com eixos, assíntotas, números críticos, monotonicidade, extremos, concavidade e esboço do gráfico. Vamos usar cálculo diferencial (derivadas) e noções de análise de funções para resolver cada item.
Passo 2
Para achar o domínio, observamos que x{3/2}=\bigl(\sqrt{x}\bigr)3 só está definido em números reais quando x≥0. Logo,
Passo 3
Para as interseções com os eixos: com o eixo x, f(x)=0 ⇔ x^{3/2}=0 ⇔ x=0, dando o ponto (0,0). Com o eixo y, x=0 ⇒ f(0)=0, o mesmo ponto. Portanto, a única interseção é
Passo 4
Não há comportamento que tenda a reta quando x→∞ nem quando x→0^+ além de simplesmente crescer de 0 para ∞, então não existem assíntotas.
Passo 5
Calculamos a derivada para encontrar pontos críticos:
Passo 6
No domínio x>0 temos f’(x)>0, e em x=0 o limite f’(x)→0. Assim, o único ponto em que f’(x)=0 é x=0, que é nosso ponto crítico (é também limite do domínio).
Passo 7
Como f’(x)>0 em todo (0,∞), f é estritamente crescente em seu domínio. Não há intervalos de decrescimento.
Passo 8
O ponto crítico x=0 é um mínimo (local e global, dado que f(x)≥0). Não há máximos locais.
Passo 9
Para a concavidade, derivamos novamente:
Passo 10
Então f é côncava para cima em (0,∞) e não muda de concavidade, logo não há pontos de inflexão.
Passo 11
Por fim, o esboço: curve inicia em (0,0) com derivada nula (tangente horizontal), cresce indefinidamente e se mantém côncava para cima.
Passo 12
Gostou? Aí está o gráfico e todos os resultados!
Resposta
a) D(f)=\left[0,\infty\right). b) Interseção com eixos: apenas (0,0). c) Não há assíntotas. d) Número crítico: x=0. e) f é crescente em [0,∞). f) Mínimo em x=0 com f(0)=0; não há máximos locais. g) Concavidade para cima em (0,∞); não há ponto de inflexão. h) Gráfico: curva partindo do ponto (0,0) com tangente horizontal, subindo indefinidamente e sempre côncava para cima.