Para cada uma das funções a seguir:
a) Encontre D(f);
b) Encontre os ponto de interseção com os eixos;
c) Encontre as assíntotas (se existirem);
d) Encontre os números críticos;
e) Encontre os intervalos de crescimento e decrescimento;
f) Encontre os valores máximos e mínimos locais;
g) Encontre os intervalos de concavidade para cima e para baixo e os pontos de inflexão;
h) Esboce o gráfico da função.
f(x)=x^3 / 2;

Passo 1

A questão pede para analisar a função f(x)=x^{3/2} em diversos aspectos: domínio, interseções com eixos, assíntotas, números críticos, monotonicidade, extremos, concavidade e esboço do gráfico. Vamos usar cálculo diferencial (derivadas) e noções de análise de funções para resolver cada item.

Passo 2

Para achar o domínio, observamos que x{3/2}=\bigl(\sqrt{x}\bigr)3 só está definido em números reais quando x≥0. Logo,
D(f)=xin R:;x>=0=[0,infty)

Passo 3

Para as interseções com os eixos: com o eixo x, f(x)=0 ⇔ x^{3/2}=0 ⇔ x=0, dando o ponto (0,0). Com o eixo y, x=0 ⇒ f(0)=0, o mesmo ponto. Portanto, a única interseção é
(0,0)

Passo 4

Não há comportamento que tenda a reta quando x→∞ nem quando x→0^+ além de simplesmente crescer de 0 para ∞, então não existem assíntotas.

Passo 5

Calculamos a derivada para encontrar pontos críticos:
f'(x)=32x^1/2

Passo 6

No domínio x>0 temos f’(x)>0, e em x=0 o limite f’(x)→0. Assim, o único ponto em que f’(x)=0 é x=0, que é nosso ponto crítico (é também limite do domínio).

Passo 7

Como f’(x)>0 em todo (0,∞), f é estritamente crescente em seu domínio. Não há intervalos de decrescimento.

Passo 8

O ponto crítico x=0 é um mínimo (local e global, dado que f(x)≥0). Não há máximos locais.

Passo 9

Para a concavidade, derivamos novamente:
f''(x)=34x^-1/2>0para x>0

Passo 10

Então f é côncava para cima em (0,∞) e não muda de concavidade, logo não há pontos de inflexão.

Passo 11

Por fim, o esboço: curve inicia em (0,0) com derivada nula (tangente horizontal), cresce indefinidamente e se mantém côncava para cima.

Passo 12

Gostou? Aí está o gráfico e todos os resultados!

Resposta

a) D(f)=\left[0,\infty\right). b) Interseção com eixos: apenas (0,0). c) Não há assíntotas. d) Número crítico: x=0. e) f é crescente em [0,∞). f) Mínimo em x=0 com f(0)=0; não há máximos locais. g) Concavidade para cima em (0,∞); não há ponto de inflexão. h) Gráfico: curva partindo do ponto (0,0) com tangente horizontal, subindo indefinidamente e sempre côncava para cima.

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