Reduza à forma a+b i cada uma das expressões dadas a seguir.
i^6+2 i^11-5 i^25+6 i^36

Passo 1

Beleza! A gente tem que simplificar a expressão i^6 + 2i^11 - 5i^25 + 6i^36 e escrevê-la na forma a + b,i. Para isso, vamos usar as potências de i e entender como elas funcionam. Vamos precisar saber que i é a unidade imaginária, onde i = raiz-1, e suas potências seguem um ciclo que se repete a cada 4.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como as potências de i se comportam:
i^1 &= i i^2 &= -1 i^3 &= -i i^4 &= 1
E depois disso, o ciclo se repete: i^5 = i, i^6 = -1, e assim por diante.

Passo 3

Vamos simplificar cada potência de i na expressão:
  1. i^6:
    • Dividindo o expoente 6 por 4, o resto é 2.
    • Então, i^6 = i^2 = -1.
  2. 2i^11:
    • Dividindo 11 por 4, o resto é 3.
    • Então, i^11 = i^3 = -i.
    • Portanto, 2i^11 = 2(-i) = -2i.
  3. -5i^25:
    • Dividindo 25 por 4, o resto é 1.
    • Então, i^25 = i^1 = i.
    • Portanto, -5i^25 = -5i.
  4. 6i^36:
    • Dividindo 36 por 4, o resto é 0.
    • Então, i^36 = i^0 = 1.
    • Portanto, 6i^36 = 6(1) = 6.

Passo 4

Agora, vamos juntar tudo:
i^6 + 2i^11 - 5i^25 + 6i^36 = (-1) + (-2i) + (-5i) + 6

Passo 5

Vamos somar as partes reais e as partes imaginárias separadamente:
  • Partes reais: -1 + 6 = 5
  • Partes imaginárias: -2i - 5i = -7i

Resposta

A expressão simplificada é 5 - 7i.

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