Para cada uma das funções a seguir, encontre as raízes, os interceptos no eixo y, esboce o gráfico e explicite os intervalos de crescimento e decrescimento. Além disso, em cada caso, determine a inversa da função. Caso seja necessário, restrinja o domínio da função para garantir a existência da inversa
y=9-x^2

Passo 1

O enunciado pede análise completa da função quadrática
y = 9 - x^2
incluindo raízes, intercepto no eixo y, esboço do gráfico, intervalos de crescimento e decréscimo, e determinação da inversa, restringindo o domínio se necessário. Para isso vamos:
  1. Resolver 9 - x^2 = 0 para achar as raízes.
  2. Avaliar f(0) para obter o intercepto em y.
  3. Calcular f'(x) e estudar seu sinal para monotonia.
  4. Descrever o gráfico com vértice, concavidade e pontos notáveis.
  5. Isolar x em y=9 - x^2, trocar variáveis e restringir o domínio para obter a inversa.

Passo 2

Para encontrar as raízes, resolvemos
9 - x^2 = 0
x^2 = 9
x = pm 3

Passo 3

O intercepto no eixo y ocorre em x=0. Assim,
f(0) = 9 - 0^2 = 9
Logo o ponto de interseção é l(0,9r).

Passo 4

Para estudar monotonia, calculamos a derivada:
f'(x) = ddx(9 - x^2) = -2x
Quando x<0, f'(x)>0 e a função é crescente. Quando x>0, f'(x)<0 e a função é decrescente.

Passo 5

O gráfico é uma parábola com concavidade voltada para baixo, vértice em l(0,9r), interceptos em l(-3,0r) e l(3,0r), crescendo até x=0 e decrescendo para x>0.

Passo 6

Para achar a inversa, partimos de
y = 9 - x^2
e isolamos x:
x^2 = 9 - y, x = pmraiz9 - y
Trocando x por y e y por x, obtemos duas inversas, cada uma válida sob restrição de domínio:
  1. Para x>= 0 (ramo crescente original), a inversa é
f^-1(x) = raiz9 - x,
com domínio x<= 9.
  1. Para x<= 0 (ramo decrescente original), a inversa é
f^-1(x) = -raiz9 - x,
com domínio x<= 9.

Resposta

Raízes: x = -3 e x = 3.
Intercepto em y: l(0,9r).
Intervalo de crescimento: x<0.
Intervalo de decrescimento: x>0.
Inversa para x>=0:
f^-1(x)=raiz9-x, domínio (-infty,9] í
Inversa para x<=0:
f^-1(x)=-raiz9-x, domínio (-infty,9] í

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