Para cada uma das funções a seguir, encontre as raízes, os interceptos no eixo y, esboce o gráfico e explicite os intervalos de crescimento e decrescimento. Além disso, em cada caso, determine a inversa da função. Caso seja necessário, restrinja o domínio da função para garantir a existência da inversa
Passo 1
O enunciado pede análise completa da função quadrática
incluindo raízes, intercepto no eixo
, esboço do gráfico, intervalos de crescimento e decréscimo, e determinação da inversa, restringindo o domínio se necessário. Para isso vamos:
- Resolver
para achar as raízes. - Avaliar
para obter o intercepto em . - Calcular
e estudar seu sinal para monotonia. - Descrever o gráfico com vértice, concavidade e pontos notáveis.
- Isolar
em , trocar variáveis e restringir o domínio para obter a inversa.
Passo 2
Para encontrar as raízes, resolvemos
Passo 3
O intercepto no eixo
ocorre em
. Assim,
Logo o ponto de interseção é
.
Passo 4
Para estudar monotonia, calculamos a derivada:
Quando
,
e a função é crescente. Quando
,
e a função é decrescente.
Passo 5
O gráfico é uma parábola com concavidade voltada para baixo, vértice em
, interceptos em
e
, crescendo até
e decrescendo para
.
Passo 6
Para achar a inversa, partimos de
e isolamos
:
Trocando
por
e
por
, obtemos duas inversas, cada uma válida sob restrição de domínio:
- Para
(ramo crescente original), a inversa é
com domínio
.
- Para
(ramo decrescente original), a inversa é
com domínio
.
Resposta
Raízes:
e
.
Intercepto em :
.
Intervalo de crescimento: .
Intervalo de decrescimento: .
Inversa para :
Intercepto em
Intervalo de crescimento:
Intervalo de decrescimento:
Inversa para
Inversa para
: