Para cada uma das funções a seguir, obtenha a expressão para a sua inversa.
f(x)=x1-x^2

Passo 1

Resumo do enunciado: temos a função f(x)=dfracx1-x^2 e queremos encontrar sua inversa f^-1(x). O conteúdo é teoria de funções inversas, e vamos usar troca de variáveis e álgebra (equação quadrática) para isolar a variável.

Passo 2

Definimos y=f(x), isto é y=dfracx1-x^2. Para inverter a função, trocamos x e y, ficando x=dfracy1-y^2, e a meta é resolver essa equação para y.

Passo 3

Multiplicamos ambos os lados por (1-y^2) e reorganizamos em uma equação quadrática em y:
x(1-y^2)=yLongrightarrow x - x y^2 = yLongrightarrow x y^2 + y - x = 0

Passo 4

Aplicamos a fórmula de Bhaskara para resolver x y^2 + y - x = 0 em relação a y:
y = -1 pm raiz1 + 4x^22x

Passo 5

Selecionamos o sinal apropriado examinando o comportamento para garantir que |y|<1 (correspondente ao ramo principal de f em (-1,1)). Testando valores, o sinal “+” em -1+raiz1+4x^2 produz |y|<1. Além disso, no ponto x=0 o limite é y=0, então definimos (f^{-1}(0)=0.

Resposta

f^-1(x)=dfracraiz1+4x^2-12x, com f^-1(0)=0.

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