Para cada uma das funções a seguir, obtenha a expressão para a sua inversa.
Passo 1
Resumo do enunciado: temos a função
e queremos encontrar sua inversa
. O conteúdo é teoria de funções inversas, e vamos usar troca de variáveis e álgebra (equação quadrática) para isolar a variável.
Passo 2
Definimos
, isto é
. Para inverter a função, trocamos
e
, ficando
, e a meta é resolver essa equação para
.
Passo 3
Multiplicamos ambos os lados por
e reorganizamos em uma equação quadrática em
:
Passo 4
Aplicamos a fórmula de Bhaskara para resolver
em relação a
:
Passo 5
Selecionamos o sinal apropriado examinando o comportamento para garantir que
(correspondente ao ramo principal de
em
). Testando valores, o sinal “+” em
produz
. Além disso, no ponto
o limite é
, então definimos (f^{-1}(0)=0.