Estude a estabilidade entorno de seus pontos críticos, usando os Teoremas de Lyapunov e Krasovskii E multiplicadores do sistema não Linear a seguir:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para estudar a estabilidade dos pontos críticos do sistema não linear dado, usando os Teoremas de Lyapunov e Krasovskii, além de multiplicadores. O conteúdo envolvido aqui é análise de estabilidade em sistemas dinâmicos, especificamente usando métodos de Lyapunov. Para resolver isso, vamos precisar encontrar os pontos críticos do sistema, linearizá-los se necessário, e construir funções de Lyapunov para analisar a estabilidade ao redor desses pontos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos do sistema. Pontos críticos são onde as derivadas de $ x_1 $ e $ x_2 $ são iguais a zero. Então, vamos resolver:
Da primeira equação, temos:
Substituindo $ x_{1} = 0 $ na segunda equação:
Isso nos dá $ x_{2} = 0 $. Então, o único ponto crítico é $ (0, 0) $.
Passo 3
Agora que encontramos o ponto crítico $ (0, 0) $, vamos analisar a estabilidade desse ponto. Para isso, vamos usar o método da linearização, ou seja, vamos calcular a matriz Jacobiana do sistema nesse ponto.
A matriz Jacobiana $ J $ é dada por:
Onde:
Calculando as derivadas parciais:
No ponto $ (0, 0) $, temos:
Passo 4
Com a matriz Jacobiana em mãos, vamos encontrar os autovalores para determinar a estabilidade do ponto crítico. Os autovalores são soluções da equação característica:
Onde $ I $ é a matriz identidade e $ \lambda $ é o autovalor.
Então:
Calculando o determinante:
Portanto, os autovalores são:
Passo 5
Agora, vamos interpretar esses autovalores. Ambos $ \lambda_1 $ e $ \lambda_2 $ são negativos, desde que $ N_{0} > 0 $, o que geralmente é assumido em sistemas físicos. Autovalores negativos indicam que o ponto crítico é estável, ou seja, o sistema tende a retornar para o ponto $ (0, 0) $ quando perturbado.
Passo 6
Além da análise linear, podemos usar o Teorema de Lyapunov para confirmar a estabilidade. Vamos construir uma função de Lyapunov simples, por exemplo:
Essa função é positiva definida, pois $ V(x) > 0 $ para $ x \neq 0 $ e $ V(0) = 0 $.
Passo 7
Vamos calcular a derivada de $ V $ ao longo das trajetórias do sistema:
Calculando as derivadas parciais:
Então:
Passo 8
Analisando $ \dot{V} $, observamos que:
Podemos aplicar desigualdades para mostrar que $ \dot{V} $ é negativa definida. Por exemplo, usando a desigualdade de Young:
Substituindo na expressão de $ \dot{V} $:
Isso mostra que $ \dot{V} $ é negativa definida, confirmando a estabilidade do ponto crítico.
Resposta
Concluímos que o ponto crítico $ (0, 0) $ é assintoticamente estável para o sistema dado, já que ambos os autovalores da matriz Jacobiana são negativos e a função de Lyapunov construída mostra que a derivada de $ V $ é negativa definida ao redor desse ponto.