Estude a estabilidade entorno de seus pontos críticos, usando os Teoremas de Lyapunov e Krasovskii E multiplicadores do sistema não Linear a seguir:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para estudar a estabilidade dos pontos críticos do sistema não linear dado, usando os Teoremas de Lyapunov e Krasovskii, além de multiplicadores. O conteúdo envolvido aqui é análise de estabilidade em sistemas dinâmicos, especificamente usando métodos de Lyapunov. Para resolver isso, vamos precisar encontrar os pontos críticos do sistema, linearizá-los se necessário, e construir funções de Lyapunov para analisar a estabilidade ao redor desses pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos do sistema. Pontos críticos são onde as derivadas de $ x_1 $ e $ x_2 $ são iguais a zero. Então, vamos resolver:
x1
Da primeira equação, temos:
x2
Substituindo $ x_{1} = 0 $ na segunda equação:
x1^prime = -N0 x1 = 0 x2^prime = x1 - x2 - x2^3 = 0
Isso nos dá $ x_{2} = 0 $. Então, o único ponto crítico é $ (0, 0) $.

Passo 3

Agora que encontramos o ponto crítico $ (0, 0) $, vamos analisar a estabilidade desse ponto. Para isso, vamos usar o método da linearização, ou seja, vamos calcular a matriz Jacobiana do sistema nesse ponto.
A matriz Jacobiana $ J $ é dada por:
(0, 0)
Onde:
J
Calculando as derivadas parciais:
J = partial f1partial x1 & partial f1partial x2 partial f2partial x1 & partial f2partial x2
f1 = -N0 x1, f2 = x1 - x2 - x2^3
No ponto $ (0, 0) $, temos:
partial f1partial x1 = -N0, partial f1partial x2 = 0

Passo 4

Com a matriz Jacobiana em mãos, vamos encontrar os autovalores para determinar a estabilidade do ponto crítico. Os autovalores são soluções da equação característica:
det(J - lambda I) = 0
Onde $ I $ é a matriz identidade e $ \lambda $ é o autovalor.
Então:
I
Calculando o determinante:
lambda
Portanto, os autovalores são:
det( -N0 - lambda & 0 1 & -1 - lambda ) = 0

Passo 5

Agora, vamos interpretar esses autovalores. Ambos $ \lambda_1 $ e $ \lambda_2 $ são negativos, desde que $ N_{0} > 0 $, o que geralmente é assumido em sistemas físicos. Autovalores negativos indicam que o ponto crítico é estável, ou seja, o sistema tende a retornar para o ponto $ (0, 0) $ quando perturbado.

Passo 6

Além da análise linear, podemos usar o Teorema de Lyapunov para confirmar a estabilidade. Vamos construir uma função de Lyapunov simples, por exemplo:
V(x) = 12x1^2 + 12x2^2
Essa função é positiva definida, pois $ V(x) > 0 $ para $ x \neq 0 $ e $ V(0) = 0 $.

Passo 7

Vamos calcular a derivada de $ V $ ao longo das trajetórias do sistema:
V
Calculando as derivadas parciais:
dotV = partial Vpartial x1 x1^prime + partial Vpartial x2 x2^prime
Então:
partial Vpartial x1 = x1, partial Vpartial x2 = x2

Passo 8

Analisando $ \dot{V} $, observamos que:
dotV
Podemos aplicar desigualdades para mostrar que $ \dot{V} $ é negativa definida. Por exemplo, usando a desigualdade de Young:
dotV = -N0 x1^2 - x2^2 - x2^4 + x1x2
Substituindo na expressão de $ \dot{V} $:
dotV
Isso mostra que $ \dot{V} $ é negativa definida, confirmando a estabilidade do ponto crítico.

Resposta

Concluímos que o ponto crítico $ (0, 0) $ é assintoticamente estável para o sistema dado, já que ambos os autovalores da matriz Jacobiana são negativos e a função de Lyapunov construída mostra que a derivada de $ V $ é negativa definida ao redor desse ponto.

Exercícios relacionados