Para cada uma das funções a seguir, obtenha a expressão para a sua inversa.
f(x)=1-raiz1-x^2

Passo 1

A questão pede para achar a inversa de f(x)=1−√(1−x²). O conteúdo é inversão de funções envolvendo raiz quadrada. Vamos precisar trocar f(x) por y, isolar a raiz e então resolver para x.

Passo 2

Começamos definindo y=f(x). Assim temos y=1−√(1−x²). Nosso objetivo é expressar x em função de y.
Isolamos a raiz:
√(1−x²)=1−y ²
Elevamos ao quadrado para eliminar a raiz. Lembrando que isso pode introduzir soluções extranhas, então depois vamos verificar domínios:
1−x²=(1−y)² ²²
Expandindo o quadrado do lado direito:
1−x²=1−2y+y² ²²
Reorganizamos para isolar x²:
x²=1−(1−2y+y²)=2y−y² ²²²
Extraímos x:
x=±√(2y−y²) ²
Como f não é injetora em todo [-1,1], restringimos o domínio para x≥0 (ou x≤0) para ter inversa. No ramo x≥0, escolhemos o sinal positivo:
f^−1(y)=√(2y−y²) ²

Resposta

f^-1(x)=raiz2x-x^2

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