Considere o sistema
G(s)=\frac{K(s-a)}{s(s-b)}
em malha fechada com realimentação unitária. Encontre a faixa de valores do ganho K que garante a estabilidade da malha fechada quando:
a<0, b>0

Passo 1

O enunciado dá o sistema em malha aberta
G(s)=\frac{K\,(s-a)}{s\,(s-b)}
com realimentação unitária, e pede a faixa de K que garante estabilidade da malha fechada.
Conteúdo: estabilidade de segunda ordem pelo critério de sinais dos coeficientes da equação característica (ou Routh–Hurwitz simplificado).

Passo 2

A equação característica da malha fechada é
1 + G(s) = 0 \quad\Longrightarrow\quad 1 + \frac{K(s-a)}{s(s-b)} = 0
Multiplicando por s(s-b) obtemos
s(s-b) + K(s-a) = 0 \quad\Longrightarrow\quad s^2 - b\,s + K\,s - K\,a = 0
ou seja
s^2 + (K - b)\,s \;-\; K\,a = 0.

Passo 3

Para que as raízes dessa equação de segunda ordem fiquem no semiplano esquerdo, basta que todos os coeficientes de
s^2 + \alpha\,s + \beta = 0
sejam positivos, isto é
\alpha = K - b > 0, \qquad \beta = -K\,a > 0.

Passo 4

Como no enunciado a<0 e b>0, temos
\beta = -K\,a = K\,(-a)>0 \quad\Longrightarrow\quad K>0,
e
\alpha = K - b>0 \quad\Longrightarrow\quad K>b.
A condição mais forte é K>b, que já implica K>0.

Resposta

A malha fechada é estável se, e somente se,
K > b.

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