Para cada grandeza física listada a seguir, indique as dimensões usando massa como dimensão primária e dê as unidades no SI e no sistema Inglês típicas:
a) Potência

Passo 1

O enunciado pede, para a grandeza “potência”:
  • indicar as dimensões usando a massa como dimensão primária;
  • dar as unidades típicas no SI;
  • dar as unidades típicas no sistema Inglês.
Nada mais foi fornecido além disso — o objetivo é dar a fórmula dimensional e as unidades correspondentes.

Passo 2

O que é potência (explicação curta e direta): a potência é a quantidade de energia transferida ou trabalho realizado por unidade de tempo. Em fórmulas simples, define-se
P=\frac{W}{t},
onde \,P é a potência, \,W é o trabalho (ou energia) e \,t é o tempo. Vou agora transformar essa relação em dimensões, explicando cada passo com calma.

Passo 3

Começando do básico (força → trabalho → potência):
  • Força: pela segunda lei de Newton, a força é massa vezes aceleração:
F = m a.
Aqui \,m tem dimensão de massa e \,a (aceleração) tem dimensão de comprimento por tempo ao quadrado, ou seja \,L T^{-2}. Portanto a dimensão da força é
[F] = M L T^{-2},
onde \,M representa a dimensão de massa, \,L de comprimento e \,T de tempo.
  • Trabalho (energia mecânica): trabalho é força vezes deslocamento (comprimento), logo
W = F \cdot L,
e a dimensão de W é
[W] = [F]\,[L] = (M L T^{-2}) \, L = M L^{2} T^{-2}.
Expliquei: multiplicar por L acrescenta mais um fator L.
  • Potência: potência é trabalho por tempo, então
P = \frac{W}{t}
e a dimensão de P é
[P] = \frac{[W]}{[T]} = \frac{M L^{2} T^{-2}}{T} = M L^{2} T^{-3}.
Assim, a fórmula dimensional final é \,M L^{2} T^{-3}.

Passo 4

Unidade no Sistema Internacional (SI):
  • No SI, a unidade de massa é o quilograma \,\mathrm{kg}, de comprimento o metro \,\mathrm{m} e de tempo o segundo \,\mathrm{s}.
  • A unidade de energia (trabalho) é o joule \,\mathrm{J}, com
1\\ \mathrm{J} = 1\\ \mathrm{N\cdot m} = 1\\ \mathrm{kg\cdot m^{2}\cdot s^{-2}}.
  • A unidade de potência é o watt \,\mathrm{W}, definida por joule por segundo:
1\\ \mathrm{W} = 1\\ \mathrm{J\cdot s^{-1}} = 1\\ \mathrm{kg\cdot m^{2}\cdot s^{-3}}.

Passo 5

Unidades típicas no sistema Inglês:
  • Uma unidade comum histórica é o pé-libra-força por segundo ( \mathrm{ft\cdot lbf\cdot s^{-1}}). Para converter para o SI:
1\\ \mathrm{ft\cdot lbf} = (0{,}3048\\ \mathrm{m})\times(4{,}448221615\\ \mathrm{N}) \approx 1{,}355817948\\ \mathrm{J},
portanto
1\\ \mathrm{ft\cdot lbf\cdot s^{-1}} \approx 1{,}355817948\\ \mathrm{W}.
  • A unidade inglesa mais usada para potência é o horsepower (cavalo-vapor), abreviado \mathrm{hp}. A definição tradicional é
1\\ \mathrm{hp} = 550\\ \mathrm{ft\cdot lbf\cdot s^{-1}}.
Usando a conversão anterior:
1\\ \mathrm{hp} \approx 550 \times 1{,}355817948\\ \mathrm{W} \approx 745{,}699872\\ \mathrm{W}.
  • Outra unidade usada em certas áreas (aquecimento, refrigeração) é o \mathrm{BTU/h}; para referência:
1\\ \mathrm{BTU/h}\approx 0{,}29307107\\ \mathrm{W}.

Passo 6

Dica prática para decorar: pense “potência = trabalho por tempo”. Trabalho tem dimensão de força vezes comprimento, e força tem dimensão massa × comprimento / tempo². Fazendo as contas dá sempre \,M L^{2} T^{-3}. Para unidades, “Watt = Joule por segundo” é a forma mais direta de lembrar.

Resposta

Dimensões: M L^{2} T^{-3}
Unidade no SI: 1\\ \mathrm{W} = 1\\ \mathrm{kg\cdot m^{2}\cdot s^{-3}}
Unidades típicas no sistema Inglês: 1\\ \mathrm{hp}=550\\ \mathrm{ft\cdot lbf\cdot s^{-1}}\approx 745{,}699872\\ \mathrm{W} (ou 1\\ \mathrm{ft\cdot lbf\cdot s^{-1}}\approx 1{,}355817948\\ \mathrm{W}).

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