Para cada hipérbole determine os vértices ( A_{1} e A_{2} ), focos ( F_{1} e F_{2} ) e excentricidade.
y{2}-x{2}+2 y-2 x-1=0

Passo 1

O enunciado pede, para a hipérbole definida por
y^{2}-x^{2}+2y-2x-1=0,
os vértices A_1,A_2, os focos F_1,F_2 e a excentricidade e. Vamos precisar completar quadrados em x e y para obter a forma canônica da hipérbole.

Passo 2

Reescrevendo e completando quadrados em y e x:
y^{2}+2y \;-\;(x^{2}+2x)\;-\;1=0
(y+1)^{2}-1 \;-\;\bigl[(x+1)^{2}-1\bigr]\;-\;1=0
(y+1)^{2}\;-\;(x+1)^{2}\;-\;1+1-1=0
(y+1)^{2}-(x+1)^{2}=1.
Essa é a forma canônica
\frac{(y-k)^{2}}{a^{2}}-\frac{(x-h)^{2}}{b^{2}}=1
com centro (h,k)=(-1,-1), a^{2}=1 e b^{2}=1.

Passo 3

Como o termo positivo é o de (y+1)^{2}, a hipérbole tem eixo transverso vertical. Temos
a=1,\quad b=1,\quad c=\sqrt{a^{2}+b^{2}}=\sqrt{2}.

Passo 4

Os vértices estão a uma distância a ao longo do eixo y a partir do centro (-1,-1):
A_{1}=\bigl(-1,-1+a\bigr)=(-1,0), \quad A_{2}=\bigl(-1,-1 - a\bigr)=(-1,-2).

Passo 5

Os focos estão a uma distância c ao longo do mesmo eixo a partir do centro:
F_{1}=\bigl(-1,-1+\sqrt{2}\bigr), \quad F_{2}=\bigl(-1,-1-\sqrt{2}\bigr).

Passo 6

A excentricidade é
e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{1}=\sqrt{2}.

Resposta

Os vértices são
A_{1}=(-1,0),\quad A_{2}=(-1,-2).
Os focos são
F_{1}=\bigl(-1,-1+\sqrt{2}\bigr), \quad F_{2}=\bigl(-1,-1-\sqrt{2}\bigr).
A excentricidade vale e=\sqrt{2}.

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