Para cada inequação abaixo, faça um esboço da região definida pela desigualdade dada.
x^{2}-4 y+8 \geq 0

Passo 1

O enunciado pede um esboço da região do plano definida pela desigualdade
x^{2}-4y+8 \geq 0.
Informações dadas:
  • Temos uma desigualdade envolvendo x e y.
  • A incógnita geométrica é a região do plano (x,y) que satisfaz essa desigualdade.
O que devemos entregar:
  • Um esboço (descrição e instruções para desenhar) da região do plano que satisfaz a desigualdade.

Passo 2

Vamos manipular a desigualdade para pôr a variável y isolada — isso facilita identificar a curva limite. Partindo de
x^{2}-4y+8 \geq 0
subtraímos x^{2}+8 de ambos os lados:
-4y \geq -x^{2}-8.
Agora dividimos por -4. Lembrete importante: ao dividir uma desigualdade por um número negativo, o sentido da desigualdade inverte. Assim
y \leq \frac{x^{2}+8}{4}.
Podemos simplificar:
y \leq \frac{1}{4}x^{2}+2.

Passo 3

Interpretação geométrica da expressão obtida. A igualdade
y = \frac{1}{4}x^{2}+2
é uma parábola no plano cartesiano com as seguintes características:
  • É do tipo y = ax^{2}+bx+c com a=\frac{1}{4}>0, então abre para cima.
  • Como b=0, o eixo de simetria é a reta x=0 (eixo y).
  • O vértice da parábola ocorre em x_v=-\dfrac{b}{2a}=0. Avaliando y em x=0 y_v=2. Logo o vértice é (0,2).
    Também podemos escrever em forma de quadrado perfeito:
y=\frac{1}{4}(x-0)^{2}+2,
o que mostra claramente o vértice em (0,2).

Passo 4

Calcular alguns pontos para guiar o esboço (escolhas fáceis de calcular):
  • Para x=0: y=\frac{1}{4}\cdot0^{2}+2=2. Ponto (0,2) — vértice.
  • Para x=2: y=\frac{1}{4}\cdot 4 +2=1+2=3. Ponto (2,3).
  • Para x=-2: mesma coisa (-2,3).
  • Para x=4: y=\frac{1}{4}\cdot16+2=4+2=6. Ponto (4,6).
    Observações úteis:
  • A parábola tem valor mínimo y_{\min}=2; portanto a curva limite nunca atinge y<2.
  • A desigualdade é y\le (parábola), então inclui a própria curva e toda a região abaixo dela.
  • Teste rápido: o ponto (0,0) (abaixo do vértice) satisfaz a desigualdade? Substituindo em x^{2}-4y+8 obtemos 0-0+8=8\ge0, então (0,0) pertence à região — confirma que a região é abaixo da parábola.

Passo 5

Como desenhar o esboço passo a passo:
  1. Desenhe os eixos x e y.
  2. Marque o vértice (0,2).
  3. Marque os pontos (2,3) e (-2,3) e, se quiser, (4,6) e (-4,6) para orientar a curvatura.
  4. Desenhe uma curva suave passando por esses pontos, com eixo de simetria x=0, abrindo para cima — essa é a parábola y=\dfrac{1}{4}x^{2}+2.
  5. Sombreie (ou pinte) a região abaixo dessa curva, inclusive a própria curva (porque a desigualdade é \le). A região sombreada é ilimitada para baixo (vai até y\to -\infty) e limitada acima pela parábola.

Passo 6

Resumo intuitivo e verificação:
  • A região é o conjunto de todos os pontos que estão sobre ou abaixo da parábola de vértice (0,2) e coeficiente de abertura \dfrac{1}{4}.
  • É uma região contínua e não limitada inferiormente; o limite superior é a própria parábola.

Resposta

\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid y \leq \tfrac{1}{4}x^{2}+2\}

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