Para cada inequação abaixo, faça um esboço da região definida pela desigualdade dada.
Passo 1
O enunciado pede um esboço da região do plano definida pela desigualdade
Informações dadas:
- Temos uma desigualdade envolvendo
e . - A incógnita geométrica é a região do plano
que satisfaz essa desigualdade.
O que devemos entregar:
- Um esboço (descrição e instruções para desenhar) da região do plano que satisfaz a desigualdade.
Passo 2
Vamos manipular a desigualdade para pôr a variável
isolada — isso facilita identificar a curva limite. Partindo de
subtraímos
de ambos os lados:
Agora dividimos por
. Lembrete importante: ao dividir uma desigualdade por um número negativo, o sentido da desigualdade inverte. Assim
Podemos simplificar:
Passo 3
Interpretação geométrica da expressão obtida. A igualdade
é uma parábola no plano cartesiano com as seguintes características:
- É do tipo
com , então abre para cima. - Como
, o eixo de simetria é a reta (eixo ). - O vértice da parábola ocorre em
. Avaliando em dá . Logo o vértice é .
Também podemos escrever em forma de quadrado perfeito:
o que mostra claramente o vértice em
.
Passo 4
Calcular alguns pontos para guiar o esboço (escolhas fáceis de calcular):
- Para
: . Ponto — vértice. - Para
: . Ponto . - Para
: mesma coisa . - Para
: . Ponto .
Observações úteis: - A parábola tem valor mínimo
; portanto a curva limite nunca atinge . - A desigualdade é
(parábola), então inclui a própria curva e toda a região abaixo dela. - Teste rápido: o ponto
(abaixo do vértice) satisfaz a desigualdade? Substituindo em obtemos , então pertence à região — confirma que a região é abaixo da parábola.
Passo 5
Como desenhar o esboço passo a passo:
- Desenhe os eixos
e . - Marque o vértice
. - Marque os pontos
e e, se quiser, e para orientar a curvatura. - Desenhe uma curva suave passando por esses pontos, com eixo de simetria
, abrindo para cima — essa é a parábola . - Sombreie (ou pinte) a região abaixo dessa curva, inclusive a própria curva (porque a desigualdade é
). A região sombreada é ilimitada para baixo (vai até ) e limitada acima pela parábola.
Passo 6
Resumo intuitivo e verificação:
- A região é o conjunto de todos os pontos que estão sobre ou abaixo da parábola de vértice
e coeficiente de abertura . - É uma região contínua e não limitada inferiormente; o limite superior é a própria parábola.