Determine, caso existam, os pontos de interseção da parábola com o Eixo O_{x}.
y=x^{2}-2 x+2

Passo 1

O enunciado nos dá a parábola descrita pela função y=x^{2}-2x+2 e pede: determinar, caso existam, os pontos de interseção dessa parábola com o eixo O_{x}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A expressão da função é y=x^{2}-2x+2.
  • Interseção com o eixo O_{x} significa pontos com y=0 (porque o eixo O_{x} é dado por y=0).

Passo 2

Transformar a condição de interseção em uma equação a resolver: igualar y a zero.
x^{2}-2x+2=0
Essa é uma equação quadrática padrão do tipo ax^{2}+bx+c=0. Aqui os coeficientes são a=1, b=-2 e c=2.

Passo 3

Apresentar a fórmula quadrática (fórmula de Bhaskara) e o discriminante, e explicar o que cada coisa significa.
A solução de uma equação quadrática ax^{2}+bx+c=0 (com a\neq0) vem da fórmula
x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a},
onde o discriminante \Delta é definido por
\Delta=b^{2}-4ac.
Interpretação do discriminante:
  • Se \Delta>0: duas raízes reais distintas (a parábola corta o eixo O_{x} em dois pontos).
  • Se \Delta=0: uma raiz real dupla (a parábola tangencia o eixo O_{x} em um ponto).
  • Se \Delta<0: não há raízes reais (as raízes são complexas) — portanto, a parábola não intersecta o eixo O_{x} em pontos reais.

Passo 4

Calcular o discriminante para nossa equação usando a=1, b=-2, c=2.
\Delta = b^{2}-4ac = (-2)^{2}-4\cdot1\cdot2 = 4-8 = -4.
Como \Delta=-4<0, concluímos pela interpretação anterior que não existem raízes reais: a parábola não corta o eixo O_{x}.

Passo 5

Complemento intuitivo (útil na prova): verificar o vértice da parábola para ver onde está o mínimo. Para y=x^{2}-2x+2, o eixo de simetria é x=-\dfrac{b}{2a}. Então
x_{\text{vértice}}=-\frac{b}{2a}=-\frac{-2}{2\cdot1}=1.é
O valor de y no vértice é
y(1)=1^{2}-2\cdot1+2=1-2+2=1.
Como o coeficiente a=1>0, a parábola abre para cima e o vértice é um mínimo com y_{\min}=1>0. Isso confirma que toda a parábola está acima do eixo O_{x} e não há interseção real.

Passo 6

Observação extra (opcional): as raízes complexas da equação podem ser obtidas pela fórmula:
x=\frac{2\pm\sqrt{-4}}{2}=\frac{2\pm 2\mathrm{i}}{2}=1\pm \mathrm{i},
mas essas não correspondem a pontos de interseção reais com o eixo O_{x}.

Resposta

Não existem pontos de interseção reais entre a parábola y=x^{2}-2x+2 e o eixo O_{x}.

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