Mostre que a equação das linhas de um campo vetorial conservativo
é dada por
Use esta equação para obter a equação das linhas do campo gradiente de
:
Passo 1
O enunciado pede duas coisas claras:
- Mostrar que, para um campo vetorial conservativo
, as linhas do campo satisfazem
- Usar essa relação para obter a equação das linhas do campo gradiente associado a
, cuja resposta final pedida é .
Informações dadas:
-
. - Queremos as curvas
que são tangentes ao campo em cada ponto (as chamadas linhas ou curvas integrais do campo).
Passo 2
O que é uma linha do campo (curva integral)? Seja uma curva paramétrica
. Dizer que essa curva é uma linha do campo significa que o vetor tangente à curva é paralelo ao campo em cada ponto. Uma forma conveniente de impor isso é escrever o sistema de equações diferenciais
Essa escolha de parametrização (tomar as componentes do gradiente como velocidades) é comum e é suficiente para obter a inclinação das linhas; qualquer outra parametrização proporcional daria a mesma família de curvas.
Agora obtenha a inclinação
ao dividir as duas equações:
Essa expressão dá a equação diferencial que as curvas integrais devem satisfazer. Observação prática: esta divisão é válida onde
; em pontos onde
trata-se caso particular (ver comentário breve no final).
Passo 3
A partir de
fazemos a manipulação algébrica padrão (multiplicando em cruz) para obter uma forma separável:
Agora integramos ambos os lados ao longo da curva (ou, de modo informal, fazemos as integrais indefinidas em cada variável mantendo a outra como variável de integração apropriada). Assim obtemos exatamente a igualdade pedida:
Essa é a forma integral da condição que define as linhas do campo gradiente. Em termos práticos, após integrar aparecem constantes de integração que determinam cada curva da família.
Breve comentário sobre casos singulares: se
numa região, a divisão usada acima não vale; nessa região as equações originais
implicam constante (curvas verticais) — são tratadas como casos-limite da família obtida pela integração.
implicam
Passo 4
Agora aplicamos a fórmula ao exemplo
.
Primeiro calcule as derivadas parciais (mostrando passo a passo):
Substituindo na equação diferencial de inclinação:
Essa é uma equação diferencial ordinária simples e separável. Separe as variáveis multiplicando ambos os lados por
:
Passo 5
Integre os dois lados (integrais indefinidas):
Calcule as integrais explicitamente:
onde
é a constante de integração (real). Multiplicando por
e rearranjando, obtemos a forma desejada:
onde
é outra constante arbitrária (pode-se renomear a constante sem perda de generalidade). Essas curvas são hipérboles no plano; cada valor de
dá uma hipérbole diferente.
Passo 6
Pequena interpretação e observações práticas (tipo “na prova”):
- A dedução central foi obter
. Isso sempre ocorre para curvas integrais de (quando ). - O passo de separar variáveis e integrar é uma técnica padrão e rápida: isolar termos em
num lado e termos em no outro, integrar, e resolver para eliminar coeficientes fracionários. - No exemplo, as linhas são hipérboles
. Em pontos onde (ou seja ) deve-se olhar o sistema original; ali e é constante — esses pontos são casos especiais que aparecem como limites da família de hipérboles para certos valores da constante.