Os campos a seguir são conservativos. Use o teorema fundamental para calcular a integral de linha de
ao longo do caminho
em cada caso:
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (tudo abaixo é tirado do enunciado):
- O campo vetorial é
. - A curva é dada por
, com . - O que pedem: calcular a integral de linha
usando o teorema fundamental (ou seja, usar que o campo é conservativo e aplicar a diferença de um potencial nos extremos).
Passo 2
Verificar se o campo é conservativo (condição prática que vamos usar): para um campo plano
, uma verificação simples é checar se
num domínio simplesmente conexo. Aqui
e
. Vou calcular as derivadas parciais explicitamente.
Passo 3
Calcular
e
:
Como
para todo
, o campo satisfaz a condição necessary. Além disso o domínio natural do campo é todo
, que é simplesmente conexo, portanto
é conservativo e existe uma função potencial
tal que
.
Passo 4
Encontrar uma função potencial
. Isso significa resolver
Integro essa igualdade em relação a
, tratando
como constante:
onde
é uma “constante” de integração que pode depender de
.
Passo 5
Determinar
usando a outra componente do gradiente: deve valer
Calculo
a partir da expressão obtida:
Comparando com
obtemos
. Portanto
é constante; podemos escolher
(a constante não altera diferenças de potencial). Assim uma função potencial conveniente é
Passo 6
Aplicar o teorema fundamental das integrais de linha: para curva
orientada de
a
,
Agora calculo os pontos extremos
e
usando a definição de
.
Passo 7
Avaliar
nesses pontos:
Passo 8
Portanto, pela diferença de potenciais,
Se preferir, poderia-se também parametrizar e calcular direto
, mas o enunciado pediu explicitamente usar o teorema fundamental, que é muito mais rápido quando o campo é conservativo.