Os campos a seguir são conservativos. Use o teorema fundamental para calcular a integral de linha de vec{F} ao longo do caminho gamma em cada caso:
vec{F}=x y^{2} \vec{i}+x^{2} y \vec{j}, \gamma: \vec{r}(t)=(t+\operatorname{sen}(\pi t / 2), t+\cos (\pi t / 2)), 0 \leq t \leq 1$.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (tudo abaixo é tirado do enunciado):
  • O campo vetorial é \vec{F}(x,y)=x y^{2}\,\vec{i}+x^{2} y\,\vec{j}.
  • A curva é dada por \gamma\colon \vec{r}(t)=\bigl(t+\sin(\tfrac{\pi t}{2}),\;t+\cos(\tfrac{\pi t}{2})\bigr), com 0\le t\le1.
  • O que pedem: calcular a integral de linha \displaystyle \int_{\gamma}\vec{F}\cdot d\vec{r} usando o teorema fundamental (ou seja, usar que o campo é conservativo e aplicar a diferença de um potencial nos extremos).

Passo 2

Verificar se o campo é conservativo (condição prática que vamos usar): para um campo plano \vec{F}(x,y)=P(x,y)\,\vec{i}+Q(x,y)\,\vec{j}, uma verificação simples é checar se
\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}
num domínio simplesmente conexo. Aqui P(x,y)=x y^{2} e Q(x,y)=x^{2}y. Vou calcular as derivadas parciais explicitamente.

Passo 3

Calcular \partial P/\partial y e \partial Q/\partial x:
\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x y^{2}\bigr)=x\cdot 2y=2xy,
\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{2}y\bigr)=2x\cdot y=2xy.
Como \dfrac{\partial P}{\partial y}=\dfrac{\partial Q}{\partial x}=2xy para todo (x,y), o campo satisfaz a condição necessary. Além disso o domínio natural do campo é todo \mathbb{R}^2, que é simplesmente conexo, portanto \vec{F} é conservativo e existe uma função potencial \varphi(x,y) tal que \nabla\varphi=\vec{F}.

Passo 4

Encontrar uma função potencial \varphi(x,y). Isso significa resolver
\frac{\partial \varphi}{\partial x}=P(x,y)=x y^{2}.
Integro essa igualdade em relação a x, tratando y como constante:
\varphi(x,y)=\int x y^{2}\,dx=\frac{1}{2}x^{2}y^{2}+g(y),
onde g(y) é uma “constante” de integração que pode depender de y.

Passo 5

Determinar g(y) usando a outra componente do gradiente: deve valer
\frac{\partial \varphi}{\partial y}=Q(x,y)=x^{2}y.
Calculo \partial\varphi/\partial y a partir da expressão obtida:
\frac{\partial \varphi}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\Bigl(\frac{1}{2}x^{2}y^{2}+g(y)\Bigr)=\frac{1}{2}x^{2}\cdot 2y+g'(y)=x^{2}y+g'(y).
Comparando com Q(x,y)=x^{2}y obtemos g'(y)=0. Portanto g(y) é constante; podemos escolher g(y)=0 (a constante não altera diferenças de potencial). Assim uma função potencial conveniente é
\varphi(x,y)=\frac{1}{2}x^{2}y^{2}.

Passo 6

Aplicar o teorema fundamental das integrais de linha: para curva \gamma orientada de t=0 a t=1,
\int_{\gamma}\vec{F}\cdot d\vec{r}=\varphi\bigl(\vec{r}(1)\bigr)-\varphi\bigl(\vec{r}(0)\bigr).
Agora calculo os pontos extremos \vec{r}(0) e \vec{r}(1) usando a definição de \vec{r}(t).
\vec{r}(0)=\bigl(0+\sin(0),\;0+\cos(0)\bigr)=(0,1),
\vec{r}(1)=\bigl(1+\sin(\tfrac{\pi}{2}),\;1+\cos(\tfrac{\pi}{2})\bigr)=(1+1,\;1+0)=(2,1).

Passo 7

Avaliar \varphi nesses pontos:
\varphi\bigl(\vec{r}(1)\bigr)=\varphi(2,1)=\frac{1}{2}\cdot 2^{2}\cdot 1^{2}=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 1=2,
\varphi\bigl(\vec{r}(0)\bigr)=\varphi(0,1)=\frac{1}{2}\cdot 0^{2}\cdot 1^{2}=0.

Passo 8

Portanto, pela diferença de potenciais,
\int_{\gamma}\vec{F}\cdot d\vec{r}=\varphi(\vec{r}(1))-\varphi(\vec{r}(0))=2-0=2.
Se preferir, poderia-se também parametrizar e calcular direto \int_{0}^{1}\vec{F}(\vec{r}(t))\cdot\vec{r}\,'(t)\,dt, mas o enunciado pediu explicitamente usar o teorema fundamental, que é muito mais rápido quando o campo é conservativo.

Resposta

2

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