Como para cada instrumento foram obtidas, no mínimo, 12 (doze) medições, deverão ser empregados os cálculos estatísticos pertinentes para a determinação das incertezas das médias das medições com cada instrumento, através do desvio padrão da média ( s ), o conhecimento sobre o equipamento para a avaliação Tipo B, e a propagação da incerteza, para a obtenção do resultado corretamente.
Passo 1
O enunciado pede que, para cada instrumento (com pelo menos 12 medições), você determine corretamente a incerteza da média das medições usando: o desvio padrão da média (Tipo A), a avaliação baseada no conhecimento do equipamento (Tipo B) e a propagação da incerteza para obter o resultado final.\n
Informações relevantes fornecidas (ou que normalmente você tem à mão):\n
Para cada instrumento existe um conjunto de n medições com n\ge 12. Denotamos as medições por x_1,x_2,\dots,x_n.\n
Deve-se calcular a incerteza Tipo A a partir das medições (desvio padrão da média).\n
Deve-se estimar incertezas Tipo B a partir das características do instrumento (resolução, especificação do fabricante, calibração, etc.).\n
Deve-se combinar (agrupar) as incertezas Tipo A e Tipo B para obter a incerteza padrão combinada e, se necessário, propagar essa incerteza por uma função quando o resultado final depende de várias grandezas medidas.
Passo 2
Calcular a média das medições (valor central que será reportado).\n
A fórmula da média amostral é
\bar{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i.
Expliquei passo a passo como calcular na prova: some todas as leituras x_i, divida pela quantidade n. Guarde algumas casas decimais extras enquanto faz os cálculos; só arredonde no final.
Passo 3
Calcular o desvio padrão amostral (para quantificar a dispersão das medições entre si).\n
A fórmula do desvio padrão amostral (não-viesado) é
s = \sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}\bigl(x_i-\bar{x}\bigr)^2}.
Como fazer na prática, passo a passo: (1) para cada i calcule x_i-\bar{x}; (2) eleve ao quadrado (x_i-\bar{x})^2; (3) some todos esses quadrados; (4) divida por n-1; (5) tire a raiz quadrada. Anote s com algumas casas decimais a mais.
Passo 4
Calcular a incerteza padrão da média (incerteza Tipo A).\n
A incerteza padrão da média é
u_A = \frac{s}{\sqrt{n}}.
Interpretação didática: s mede a dispersão entre leituras individuais; ao estimar a média usamos \sqrt{n} para reduzir essa incerteza porque médias de n leituras têm menor variação do que leituras individuais. Em prova, com n\ge 12 a aproximação u_A = s/\sqrt{n} é adequada e você pode usar distribuição t para intervalos de confiança se precisar.
Passo 5
Avaliar a incerteza Tipo B (baseada no conhecimento do equipamento).\n
Principais fontes e como convertê-las em incerteza padrão:\n
Resolução do instrumento (menor divisão) r: assume-se distribuição retangular se nada for dito, então
u_{B,\text{res}} = \frac{r}{\sqrt{12}}.
Incerteza de calibração ou especificação do fabricante dada como U_{\text{man}} (por exemplo, ±0,05 unidade) normalmente corresponde a um intervalo com certo fator de cobertura k_{\text{man}}. A incerteza padrão é
Se o fabricante não informa k, muitas vezes assume-se k=2 para transformar uma especificação de confiança aproximada em desvio padrão, ou use a informação disponível (algumas especificações já são k=2).\n
Especificação dada em porcentagem p\% sobre o valor: converta em valor absoluto p\% \times |\bar{x}| e então use a divisão por k conforme acima.\n
Se houver várias contribuições Tipo B, combine-as em quadratura:
u_B = \sqrt{\sum_{j} u_{B,j}^2}.
Dica prática para prova: identifique rapidamente resolução, erro sistemático declarado e incerteza de calibração — calcule cada u_{B,j} e combine.
Passo 6
Combinar as incertezas Tipo A e Tipo B para obter a incerteza padrão combinada (incerteza tipo combinada).\n
A fórmula é simples soma quadrática (assumindo independência entre as componentes A e B):
u_c = \sqrt{u_A^2 + u_B^2}.
Explanação: tratamos u_A e u_B como desvios padrão independentes; a combinação em quadratura dá a incerteza padrão total do valor medido.
Passo 7
Se o resultado final y depende de várias grandezas medidas x_1,\dots,x_m, propague as incertezas usando derivadas (coeficientes de sensibilidade).\n
A fórmula geral (incluindo covariâncias) é
onde y=f(x_1,\dots,x_m) e u_{x_i} é a incerteza padrão combinada de x_i.\n
Na prática de prova, quase sempre assume-se independência (covariâncias nulas), então
onde u_i são as componentes de incerteza (cada u_i pode ser u_A com \nu_A=n-1 ou uma componente Tipo B com \nu_B assumida grande/infinita). Depois escolha k como o valor da t-Student correspondente a \nu_{\rm eff} e ao nível de confiança desejado. Em provas, quando n é razoável (por ex. n\ge 12) e u_B tem muitas df, é comum aproximar k\approx 2.
Passo 9
Regras práticas de arredondamento e como reportar o resultado na prova.\n
Arredonde a incerteza expandida U para 1 ou 2 algarismos significativos (ex.: 0,0147\to 0,015).\n
Arredonde a média \bar{x} à mesma casa decimal da incerteza arredondada.\n
Reporte no formato:
\bar{x} \pm U \quad (\text{unidade, } k=\text{valor},\\ \text{nível de confiança \%})íç
Exemplo de texto a incluir: “Média determinada a partir de n medições; u_A calculada como s/\sqrt{n}; u_B inclui resolução e especificação do fabricante; incerteza expandida com k=2 corresponde a ~95% de confiança.”
Passo 10
Exemplo numérico curto (ilustrativo) para ver tudo junto — faça isso passo a passo na prova com seus dados.\n
Suponha n=12, \bar{x}=5{,}123 (unidades), s=0{,}050 (unidades), resolução r=0{,}01 (unidades) e nenhuma outra fonte B relevante.\n
u_B = \sqrt{\sum_j u_{B,j}^2}\n u_c = \sqrt{u_A^2 + u_B^2}\n u_y = \sqrt{\sum_{i}\left(\dfrac{\partial f}{\partial x_i}u_{x_i}\right)^2} (se y=f(x_i), assumindo independência)\n U = k\,u_c (escolher k, tipicamente k=2 para ≈95% ou usar k da t com \nu_{\rm eff})\n
Reporte final: \bar{x} \pm U (unidade, com indicação de k e nível de confiança).]