Determine os valores dos volumes das esferas ( V=4 \pi R^{3} / 3 ) e suas respectivas incertezas \mathrm{u}(\mathrm{V}).

Passo 1

O enunciado pede que a gente determine os volumes das esferas e as incertezas associadas a esses volumes. Ele fornece a fórmula do volume:
V=\frac{4\pi R^{3}}{3}
Informações relevantes que temos aqui:
  • A relação entre o raio R e o volume V é dada por \;V=\dfrac{4\pi R^{3}}{3}.
  • O que falta no enunciado que é necessário para calcular números concretos: os valores dos raios R de cada esfera e as incertezas associadas a esses raios u(R). Sem esses dados numéricos não é possível fornecer valores numéricos finais de V e u(V).
    Portanto, vou:
  1. Derivar passo a passo a fórmula para a incerteza u(V) em função de R e u(R), explicando bem o raciocínio, e
  2. Mostrar como aplicar isso numericamente com um exemplo didático — assim você sabe exatamente o que fazer na prova quando tiver os valores de R.

Passo 2

Relembrando a fórmula do volume e preparando para derivar a incerteza:
V=\frac{4\pi R^{3}}{3}.
Quando uma grandeza V depende de uma única variável R que tem incerteza u(R), a aproximação linear (primeira ordem da expansão de Taylor) diz que a incerteza padrão em V pode ser obtida por multiplicar a derivada absoluta |\mathrm{d}V/\mathrm{d}R| pela incerteza em R. Vou explicar isso com calma no próximo passo.

Passo 3

Explicando por que usamos a derivada: se V=V(R) e R varia com pequena incerteza u(R), então para pequenas variações:
\Delta V \approx \frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}R}\,\Delta R.
A incerteza padrão (absoluta) u(V) mede o tamanho típico de \Delta V quando \Delta R tem tamanho típico u(R). Assim:
u(V) \approx \left|\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}R}\right|\,u(R).
Essa é a regra básica de propagação de incerteza para uma única variável — é a forma mais simples e muito usada em medições de laboratório e exercícios de prova.

Passo 4

Calculemos a derivada \mathrm{d}V/\mathrm{d}R. Diferenciando \;V=\dfrac{4\pi R^{3}}{3} em relação a R:
\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}R}=4\pi R^{2}.
Aplicando a regra da propagação (do passo anterior):
u(V)=\left|\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}R}\right|\,u(R)=4\pi R^{2}\,u(R).
Essa é a forma direta e absoluta da incerteza do volume em função de R e u(R).

Passo 5

Forma alternativa (útil em prova): relacionando a incerteza relativa de V com a de R. Como V\propto R^{3}, a incerteza relativa se multiplica pelo expoente:
\frac{u(V)}{V}=3\frac{u(R)}{R}.
Multiplicando os dois lados por V obtemos outra expressão equivalente e prática:
u(V)=3V\frac{u(R)}{R}.
Essas duas formas são idênticas numericamente; escolha a que for mais conveniente ao calcular (às vezes calculamos V primeiro e depois usamos a segunda expressão).

Passo 6

Receita passo a passo para aplicar na prova (quando você tiver R e u(R)):
  1. Calcule V substituindo R na fórmula \;V=\dfrac{4\pi R^{3}}{3}.
  2. Calcule u(V) por uma das duas formas:
    • direta: u(V)=4\pi R^{2}\,u(R), ou
    • via relativo: u(V)=3V\frac{u(R)}{R}.
  3. Verifique unidades: se R está em centímetros, V e u(V) ficam em centímetros cúbicos.
  4. Arredonde u(V) com 1 ou 2 algarismos significativos e ajuste V com mesma ordem de grandeza na última casa significativa — regra prática de apresentação de incertezas.

Passo 7

Exemplo numérico ilustrativo (para fixar o procedimento). Suponha que você tenha medido R e obteve \;R=5{,}00\\ \mathrm{cm} com \;u(R)=0{,}02\\ \mathrm{cm}. Então:
  1. Calcule V:
V=\frac{4\pi (5{,}00)^{3}}{3}=\frac{4\pi \cdot 125}{3}=\frac{500\pi}{3}\approx 523{,}5988\\ \mathrm{cm^{3}}.
  1. Calcule u(V) pela forma direta:
u(V)=4\pi R^{2}u(R)=4\pi(5{,}00)^{2}\cdot 0{,}02=4\pi\cdot 25\cdot 0{,}02=2\pi\approx 6{,}2832\\ \mathrm{cm^{3}}.
  1. Conferindo pela forma relativa:
u(V)=3V\frac{u(R)}{R}=3\cdot 523{,}5988\cdot\frac{0{,}02}{5{,}00}\approx 6{,}2832\\ \mathrm{cm^{3}}.
Resultado do exemplo: V\approx 523{,}60\\ \mathrm{cm^{3}} e u(V)\approx 6{,}28\\ \mathrm{cm^{3}} (apresentação com arredondamento adequado conforme regras de algarismos significativos).

Resposta

V=\dfrac{4\pi R^{3}}{3}
u(V)=4\pi R^{2}\,u(R)=3V\,\dfrac{u(R)}{R}

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