Determine os valores dos volumes das esferas ( V=4 \pi R^{3} / 3 ) e suas respectivas incertezas \mathrm{u}(\mathrm{V}).
Passo 1
O enunciado pede que a gente determine os volumes das esferas e as incertezas associadas a esses volumes. Ele fornece a fórmula do volume:
V=\frac{4\pi R^{3}}{3}
Informações relevantes que temos aqui:
A relação entre o raio R e o volume V é dada por \;V=\dfrac{4\pi R^{3}}{3}.
O que falta no enunciado que é necessário para calcular números concretos: os valores dos raios R de cada esfera e as incertezas associadas a esses raios u(R). Sem esses dados numéricos não é possível fornecer valores numéricos finais de V e u(V).
Portanto, vou:
Derivar passo a passo a fórmula para a incerteza u(V) em função de R e u(R), explicando bem o raciocínio, e
Mostrar como aplicar isso numericamente com um exemplo didático — assim você sabe exatamente o que fazer na prova quando tiver os valores de R.
Passo 2
Relembrando a fórmula do volume e preparando para derivar a incerteza:
V=\frac{4\pi R^{3}}{3}.
Quando uma grandeza V depende de uma única variável R que tem incerteza u(R), a aproximação linear (primeira ordem da expansão de Taylor) diz que a incerteza padrão em V pode ser obtida por multiplicar a derivada absoluta |\mathrm{d}V/\mathrm{d}R| pela incerteza em R. Vou explicar isso com calma no próximo passo.
Passo 3
Explicando por que usamos a derivada: se V=V(R) e R varia com pequena incerteza u(R), então para pequenas variações:
\Delta V \approx \frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}R}\,\Delta R.
A incerteza padrão (absoluta) u(V) mede o tamanho típico de \Delta V quando \Delta R tem tamanho típico u(R). Assim:
Essa é a regra básica de propagação de incerteza para uma única variável — é a forma mais simples e muito usada em medições de laboratório e exercícios de prova.
Passo 4
Calculemos a derivada \mathrm{d}V/\mathrm{d}R. Diferenciando \;V=\dfrac{4\pi R^{3}}{3} em relação a R:
\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}R}=4\pi R^{2}.
Aplicando a regra da propagação (do passo anterior):
Essa é a forma direta e absoluta da incerteza do volume em função de R e u(R).
Passo 5
Forma alternativa (útil em prova): relacionando a incerteza relativa de V com a de R. Como V\propto R^{3}, a incerteza relativa se multiplica pelo expoente:
\frac{u(V)}{V}=3\frac{u(R)}{R}.
Multiplicando os dois lados por V obtemos outra expressão equivalente e prática:
u(V)=3V\frac{u(R)}{R}.
Essas duas formas são idênticas numericamente; escolha a que for mais conveniente ao calcular (às vezes calculamos V primeiro e depois usamos a segunda expressão).
Passo 6
Receita passo a passo para aplicar na prova (quando você tiver R e u(R)):
Calcule V substituindo R na fórmula \;V=\dfrac{4\pi R^{3}}{3}.
Calcule u(V) por uma das duas formas:
direta: u(V)=4\pi R^{2}\,u(R), ou
via relativo: u(V)=3V\frac{u(R)}{R}.
Verifique unidades: se R está em centímetros, V e u(V) ficam em centímetros cúbicos.
Arredonde u(V) com 1 ou 2 algarismos significativos e ajuste V com mesma ordem de grandeza na última casa significativa — regra prática de apresentação de incertezas.
Passo 7
Exemplo numérico ilustrativo (para fixar o procedimento). Suponha que você tenha medido R e obteve \;R=5{,}00\\ \mathrm{cm} com \;u(R)=0{,}02\\ \mathrm{cm}. Então:
Resultado do exemplo: V\approx 523{,}60\\ \mathrm{cm^{3}} e u(V)\approx 6{,}28\\ \mathrm{cm^{3}} (apresentação com arredondamento adequado conforme regras de algarismos significativos).