Um capacitor cilíndrico possui um condutor interno com raio de 2.12 mm e um condutor externo com raio de 4.4 mm . Os dois condutores estão separados pelo vácuo e o comprimento total do capacitor é de 2.56 m .
a) Qual é a capacitância por unidade de comprimento do capacitor?
\square
7.62 \mathrm{E}-11 \mathrm{~F} / \mathrm{m}
b) O potencial do condutor interno está 320 mV mais elevado que o potencial do condutor externo.
Calcule a carga (módulo e sinal) do cilindro interno.
\square
6.24E-11 C

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • Raio do condutor interno: a = 2,12\times10^{-3}\,\mathrm{m}.
  • Raio do condutor externo: b = 4,4\times10^{-3}\,\mathrm{m}.
  • Comprimento total do capacitor: L = 2,56\,\mathrm{m}.
  • Meio entre os condutores: vácuo, com permissividade elétrica \varepsilon_{0} (valor numérico a usar abaixo).
    Perguntas:
  1. Calcular a capacitância por unidade de comprimento do capacitor (isto é, C', em \mathrm{F/m}).
  2. Sabendo que o condutor interno está 0,320\,\mathrm{V} (ou 320\\ \mathrm{mV}) mais elevado que o externo, calcular a carga do cilindro interno (módulo e sinal).

Passo 2

Entender a física e as fórmulas necessárias — derivação passo a passo.
  • Para um capacitor coaxial cilíndrico, a carga por unidade de comprimento é \lambda (em \mathrm{C/m}). Vamos encontrar a relação entre \lambda e a diferença de potencial V entre os cilindros.
  • Campo elétrico radial E(r) entre os cilindros (obtido por Lei de Gauss para uma linha cilíndrica infinita):
E(r)=\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_{0}\,r},
onde r é a distância radial do eixo e \varepsilon_{0} é a permissividade do vácuo.
  • Explicando: escolhemos uma superfície gaussiana cilíndrica coaxial de raio r. A densidade de fluxo elétrico atravessa apenas a superfície lateral e, pela simetria, E é constante nessa superfície. A carga contida por comprimento é \lambda, então a Lei de Gauss dá a fórmula acima.
  • A diferença de potencial entre os cilindros é o negativo da integral do campo elétrico ao longo da radial de a até b:
V=\Phi(a)-\Phi(b)=-\int_{a}^{b} E(r)\,dr.
  • Substituindo E(r) e integrando:
V=-\int_{a}^{b}\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_{0}\,r}\,dr=\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_{0}}\ln\!\left(\frac{b}{a}\right).
  • Observação: o sinal ficou positivo porque -\int_a^b 1/r\,dr = \ln(b/a).
  • A capacitância por unidade de comprimento é definida por C'=\dfrac{\lambda}{V}. Substituindo a relação acima:
C'=\frac{2\pi\varepsilon_{0}}{\ln\!\left(\dfrac{b}{a}\right)}.
  • Aqui C' tem unidade \mathrm{F/m}. Variáveis: \varepsilon_{0} (permissividade do vácuo), a (raio interno), b (raio externo).

Passo 3

Aplicar a fórmula e fazer as contas para C'.
  • Valor da permissividade do vácuo: \varepsilon_{0}=8,854187817\times10^{-12}\,\mathrm{F/m}.
  • Primeiro calcular \dfrac{b}{a}:
\frac{b}{a}=\frac{4,4\times10^{-3}}{2,12\times10^{-3}}=2,07547\\ (\text{aprox.}).
  • Calcular o logaritmo natural:
\ln\!\left(\frac{b}{a}\right)=\ln(2,07547)\approx0,7294.
  • Agora calcular 2\pi\varepsilon_{0}:
2\pi\varepsilon_{0}=2\pi\cdot 8,854187817\times10^{-12}\approx5,565\times10^{-11}\,\mathrm{F/m}.
  • Finalmente,
C'=\frac{2\pi\varepsilon_{0}}{\ln(b/a)}\approx\frac{5,565\times10^{-11}}{0,7294}\approx7,62\times10^{-11}\,\mathrm{F/m}.
  • Conclusão deste passo: a capacitância por unidade de comprimento é C'\approx7,62\times10^{-11}\,\mathrm{F/m}.

Passo 4

Calcular a capacitância total do capacitor (para usar ao achar a carga).
  • Capacitância total C para comprimento L:
C=C'\,L.
  • Substituindo números:
C=(7,62\times10^{-11}\,\mathrm{F/m})\times(2,56\,\mathrm{m})\approx1,95\times10^{-10}\,\mathrm{F}.

Passo 5

Calcular a carga do cilindro interno usando Q=C\,V, e atribuir sinal.
  • Diferença de potencial dada: V=0,320\,\mathrm{V} (o condutor interno está 0,320\,\mathrm{V} mais elevado).
  • Carga no condutor interno (módulo):
Q=C\,V\approx(1,95\times10^{-10}\,\mathrm{F})\times(0,320\,\mathrm{V})\approx6,24\times10^{-11}\,\mathrm{C}.
  • Sinal da carga: como o condutor interno está a potencial mais alto, ele tem carga positiva. Logo o valor algébrico é Q\approx+6,24\times10^{-11}\,\mathrm{C}.

Passo 6

Pequena verificação de arredondamento e consistência:
  • Os cálculos batem com os valores indicados na questão: C'\approx7,62\times10^{-11}\,\mathrm{F/m} e Q\approx6,24\times10^{-11}\,\mathrm{C}.
  • Unidades estão consistentes: C' em \mathrm{F/m}, C em \mathrm{F}, Q em \mathrm{C}.

Resposta

(a) 7,62\times10^{-11}\,\mathrm{F/m}
(b) +6,24\times10^{-11}\,\mathrm{C}

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