Um capacitor cilíndrico possui um condutor interno com raio de 2.12 mm e um condutor externo com raio de 4.4 mm . Os dois condutores estão separados pelo vácuo e o comprimento total do capacitor é de 2.56 m .
a) Qual é a capacitância por unidade de comprimento do capacitor?
b) O potencial do condutor interno está 320 mV mais elevado que o potencial do condutor externo.
Calcule a carga (módulo e sinal) do cilindro interno.
6.24E-11 C
a) Qual é a capacitância por unidade de comprimento do capacitor?
b) O potencial do condutor interno está 320 mV mais elevado que o potencial do condutor externo.
6.24E-11 C
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
- Raio do condutor interno:
. - Raio do condutor externo:
. - Comprimento total do capacitor:
. - Meio entre os condutores: vácuo, com permissividade elétrica
(valor numérico a usar abaixo).
Perguntas:
- Calcular a capacitância por unidade de comprimento do capacitor (isto é,
, em ). - Sabendo que o condutor interno está
(ou ) mais elevado que o externo, calcular a carga do cilindro interno (módulo e sinal).
Passo 2
Entender a física e as fórmulas necessárias — derivação passo a passo.
- Para um capacitor coaxial cilíndrico, a carga por unidade de comprimento é
(em ). Vamos encontrar a relação entre e a diferença de potencial entre os cilindros. - Campo elétrico radial
entre os cilindros (obtido por Lei de Gauss para uma linha cilíndrica infinita):
onde
é a distância radial do eixo e
é a permissividade do vácuo.
- Explicando: escolhemos uma superfície gaussiana cilíndrica coaxial de raio
. A densidade de fluxo elétrico atravessa apenas a superfície lateral e, pela simetria, é constante nessa superfície. A carga contida por comprimento é , então a Lei de Gauss dá a fórmula acima. - A diferença de potencial entre os cilindros é o negativo da integral do campo elétrico ao longo da radial de
até :
- Substituindo
e integrando:
- Observação: o sinal ficou positivo porque
. - A capacitância por unidade de comprimento é definida por
. Substituindo a relação acima:
- Aqui
tem unidade . Variáveis: (permissividade do vácuo), (raio interno), (raio externo).
Passo 3
Aplicar a fórmula e fazer as contas para
.
- Valor da permissividade do vácuo:
. - Primeiro calcular
:
- Calcular o logaritmo natural:
- Agora calcular
:
- Finalmente,
- Conclusão deste passo: a capacitância por unidade de comprimento é
.
Passo 4
Calcular a capacitância total do capacitor (para usar ao achar a carga).
- Capacitância total
para comprimento :
- Substituindo números:
Passo 5
Calcular a carga do cilindro interno usando
, e atribuir sinal.
- Diferença de potencial dada:
(o condutor interno está mais elevado). - Carga no condutor interno (módulo):
- Sinal da carga: como o condutor interno está a potencial mais alto, ele tem carga positiva. Logo o valor algébrico é
.
Passo 6
Pequena verificação de arredondamento e consistência:
- Os cálculos batem com os valores indicados na questão:
e . - Unidades estão consistentes:
em , em , em .
Resposta
(a)
(b)
(b)