Cada uma das integrais iteradas a seguir representa o volume de uma região \mathcal{Q}. Descreva \mathcal{Q}
\int_{0}^{2} \int_{x^{2}}^{2 x} \int_{0}^{x+y} d z d y d x

Passo 1

O enunciado nos dá a integral iterada
\int_{0}^{2}\;\int_{x^{2}}^{2x}\;\int_{0}^{x+y}dz\,dy\,dx
que representa o volume de uma região \mathcal{Q}. Para descrever \mathcal{Q}, basta ler os limites de integração como desigualdades em (x,y,z).

Passo 2

Da integral externa, temos
0 \le x \le 2.
Em seguida, para cada x fixo, o segundo limite diz
x^{2} \le y \le 2x.
Note que as curvas y=x^{2} e y=2x se intersectam em x^{2}=2x, i.e.\ em x=0 e x=2, compatível com o limite de x.

Passo 3

Por fim, para cada par (x,y) no domínio projetado no plano xy, o terceiro limite nos dá
0 \le z \le x + y,
ou seja, \mathcal{Q} fica entre o plano z=0 (o “chão”) e o plano inclinado z = x+y.

Resposta

\displaystyle \mathcal{Q} = \bigl\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid 0\le x\le2,\;x^{2}\le y\le2x,\;0\le z\le x+y\bigr\}.

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