Cada uma das integrais iteradas a seguir representa o volume de uma região \mathcal{Q}. Descreva \mathcal{Q}
\int_{1}^{2} \int_{-\sqrt{z}}^{\sqrt{z}} \int_{-\sqrt{z^{2}-y^{2}}}^{\sqrt{z^{2}-y^{2}}} d y d x d z

Passo 1

O enunciado nos dá a integral iterada
\int_{1}^{2}\int_{-\sqrt{z}}^{\sqrt{z}}\int_{-\sqrt{z^{2}-y^{2}}}^{\sqrt{z^{2}-y^{2}}}dx\,dy\,dz
que calcula o volume de uma região \mathcal{Q}. Para descrever \mathcal{Q}, basta traduzir cada limite de integração numa desigualdade.

Passo 2

O limite externo é
\int_{1}^{2}dz
o que impõe
1 \le z \le 2.

Passo 3

O próximo é
\int_{-\sqrt{z}}^{\sqrt{z}}dy
que equivale a
-\sqrt{z}\le y\le\sqrt{z} \quad\Longleftrightarrow\quad y^{2}\le z.

Passo 4

O interno é
\int_{-\sqrt{z^{2}-y^{2}}}^{\sqrt{z^{2}-y^{2}}}dx
que traduz-se em
-\sqrt{z^{2}-y^{2}}\le x\le\sqrt{z^{2}-y^{2}} \quad\Longleftrightarrow\quad x^{2}\le z^{2}-y^{2} \quad\Longleftrightarrow\quad x^{2}+y^{2}\le z^{2}.

Passo 5

Combinando as três condições, a região \mathcal{Q} é
\mathcal{Q} =\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid 1\le z\le2,\; y^{2}\le z,\; x^{2}+y^{2}\le z^{2} \}.
Em outras palavras, é o sólido compreendido entre os planos z=1 e z=2, dentro do cone x^{2}+y^{2}=z^{2}, e ainda limitado pela casca do cilindro parabólico y^{2}=z.

Resposta

\mathcal{Q} =\{(x,y,z)\mid 1\le z\le2,\;-\,\sqrt{z}\le y\le\sqrt{z},\;-\,\sqrt{z^{2}-y^{2}}\le x\le\sqrt{z^{2}-y^{2}}\}.

Exercícios relacionados