Cada uma das integrais iteradas a seguir representa o volume de uma região \mathcal{Q}. Descreva \mathcal{Q}
\int_{0}^{1} \int_{\sqrt{1-z}}^{\sqrt{4-z}} \int_{2}^{3} d x d y d z

Passo 1

O enunciado dá a integral iterada
\int_{0}^{1}\!\int_{\sqrt{1-z}}^{\sqrt{4-z}}\!\int_{2}^{3}dx\,dy\,dz
que mede o volume de uma região \mathcal{Q}. Vamos interpretar cada limite de integração como uma desigualdade que define \mathcal{Q}.

Passo 2

A integral interna em x vai de 2 a 3 e não depende de y nem de z. Logo \mathcal{Q} é um “prisma” paralelo ao eixo x, limitado pelos planos
x=2\quad\text{e}\quad x=3,
e cuja “base” no plano yz é uma região D. Escrevemos
\mathcal{Q}=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\mid 2\le x\le3,\;(y,z)\in D\}.

Passo 3

Os limites de y e z são
0\le z\le1, \qquad \sqrt{1-z}\;\le y\le\;\sqrt{4-z}.
Portanto
D=\bigl\{(y,z)\in\mathbb{R}^2\mid 0\le z\le1,\;\sqrt{1-z}\le y\le\sqrt{4-z}\bigr\}.
Equivalentemente, em termos de y^2:
0\le z\le1,\quad 1-z\le y^2\le4-z,\quad y\ge0.

Passo 4

As curvas y=\sqrt{1-z} e y=\sqrt{4-z} no plano yz são as interseções dos cilindros parabólicos
y^2+z=1 \quad\text{e}\quad y^2+z=4
com a região y\ge0. Além disso, z fica entre os planos z=0 e z=1. Juntando tudo, \mathcal{Q} é a região no espaço limitada por:
  • os cilindros parabólicos y^2+z=1 e y^2+z=4 (apenas para y\ge0),
  • os planos horizontais z=0 e z=1,
  • e os planos verticais x=2 e x=3.

Resposta

A descrição de \mathcal{Q} é
\mathcal{Q}=\bigl\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\;\big|\;2\le x\le3,\;0\le z\le1,\;\sqrt{1-z}\le y\le\sqrt{4-z}\bigr\}.

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