Esboce os gráficos da região mathcal{Q} limitado pelos gráficos das equações dadas e exprima a integral \iiint_{\mathcal{Q}} f(x, y, z) d v como integral iterada de seis formas diferentes
z=x^{2}, z=x^{3}, y=z^{2}, y=0

Passo 1

O enunciado pede a região \mathcal{Q} em (x,y,z) limitada pelas superfícies
z = x^2,\quad z = x^3,\quad y = 0,\quad y = z^2,
e quer que a integral
\iiint_{\mathcal{Q}} f(x,y,z)\,dv
seja escrita em seis ordens distintas de integração. Vamos precisar encontrar em cada caso os limites de integração consistentes com essas quatro superfícies.

Passo 2

Primeiro determinamos a projeção de \mathcal{Q} no plano xz. As curvas z=x^2 e z=x^3 se interceptam quando
x^2 = x^3 \quad\Longrightarrow\quad x^2(x-1)=0 \quad\Longrightarrow\quad x=0\text{ ou }x=1.
Para 0\le x\le1, fica x^3\le z\le x^2. Em todos os casos, y varia de 0 até z^2.
Dessa forma já temos a forma “natural”
0\le x\le1,\quad x^3\le z\le x^2,\quad 0\le y\le z^2.

Passo 3

Usando essa descrição podemos escrever duas ordens começando com y em primeiro lugar:
  1. dy\,dz\,dx:
\iiint_{\mathcal{Q}}f\,dv = \int_{x=0}^{1} \int_{z=x^3}^{x^2} \int_{y=0}^{z^2} f(x,y,z)\,dy\,dz\,dx.
  1. dy\,dx\,dz: para isso fazemos z de 0 a 1 e, dado z, x satisfaz \sqrt z\le x\le z^{1/3}, e então y de 0 a z^2:
\iiint_{\mathcal{Q}}f\,dv = \int_{z=0}^{1} \int_{x=\sqrt z}^{\,z^{1/3}} \int_{y=0}^{z^2} f(x,y,z)\,dy\,dx\,dz.

Passo 4

Agora duas ordens começando com x em primeiro lugar:
  1. dx\,dy\,dz: \;z vai de 0 a 1, para cada z temos y de 0 a z^2, e para cada par (y,z), x satisfaz \sqrt z\le x\le z^{1/3}:
\iiint_{\mathcal{Q}}f\,dv = \int_{z=0}^{1} \int_{y=0}^{z^2} \int_{x=\sqrt z}^{\,z^{1/3}} f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz.
  1. dx\,dz\,dy: \;y vai de 0 a 1, para cada y temos z de \sqrt y a 1, e para cada (y,z), x de \sqrt z a z^{1/3}:
\iiint_{\mathcal{Q}}f\,dv = \int_{y=0}^{1} \int_{z=\sqrt y}^{1} \int_{x=\sqrt z}^{\,z^{1/3}} f(x,y,z)\,dx\,dz\,dy.

Passo 5

Finalmente duas ordens começando com z em primeiro lugar:
  1. dz\,dy\,dx: para cada x\in[0,1], y vai de 0 a x^4 e, dado (x,y), o z varia de \max(x^3,\sqrt y) até x^2. Em prática dividimos em dois pedaços:
\begin{aligned} \iiint_{\mathcal{Q}}f\,dv &=\int_{x=0}^{1} \Biggl[ \int_{y=0}^{x^6} \int_{z=x^3}^{\,x^2}f(x,y,z)\,dz\,dy + \int_{y=x^6}^{x^4} \int_{z=\sqrt y}^{\,x^2}f(x,y,z)\,dz\,dy \Biggr]dx. \end{aligned}
  1. dz\,dx\,dy: para y\in[0,1], dado y temos x de y^{1/4} até y^{1/6} e, dado (y,x), z de \sqrt y até x^2:
\iiint_{\mathcal{Q}}f\,dv = \int_{y=0}^{1} \int_{x=y^{1/4}}^{\,y^{1/6}} \int_{z=\sqrt y}^{\,x^2} f(x,y,z)\,dz\,dx\,dy.

Resposta

As seis formas iteradas são:
\boxed{ \begin{aligned} &\int_{0}^{1}\!\!\int_{x^3}^{x^2}\!\!\int_{0}^{z^2} f(x,y,z)\,dy\,dz\,dx,\\\ &\int_{0}^{1}\!\!\int_{\sqrt z}^{\,z^{1/3}}\!\!\int_{0}^{z^2} f(x,y,z)\,dy\,dx\,dz,\\\ &\int_{0}^{1}\!\!\int_{0}^{z^2}\!\!\int_{\sqrt z}^{\,z^{1/3}} f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz,\\\ &\int_{0}^{1}\!\!\int_{\sqrt y}^{1}\!\!\int_{\sqrt z}^{\,z^{1/3}} f(x,y,z)\,dx\,dz\,dy,\\\ &\displaystyle \int_{0}^{1}\Biggl[\int_{0}^{x^6}\!\!\int_{x^3}^{x^2}f\,dz\,dy +\int_{x^6}^{x^4}\!\!\int_{\sqrt y}^{x^2}f\,dz\,dy\Biggr]dx,\\\ &\int_{0}^{1}\!\!\int_{y^{1/4}}^{\,y^{1/6}}\!\!\int_{\sqrt y}^{\,x^2} f(x,y,z)\,dz\,dx\,dy. \end{aligned} }

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