Esboce os gráficos da região
limitado pelos gráficos das equações dadas e exprima a integral
como integral iterada de seis formas diferentes
Passo 1
O enunciado pede a região
em
limitada pelas superfícies
e quer que a integral
seja escrita em seis ordens distintas de integração. Vamos precisar encontrar em cada caso os limites de integração consistentes com essas quatro superfícies.
Passo 2
Primeiro determinamos a projeção de
no plano
. As curvas
e
se interceptam quando
Para
, fica
. Em todos os casos,
varia de
até
.
Dessa forma já temos a forma “natural”
Passo 3
Usando essa descrição podemos escrever duas ordens começando com
em primeiro lugar:
-
:
-
: para isso fazemos de a e, dado , satisfaz , e então de a :
Passo 4
Agora duas ordens começando com
em primeiro lugar:
-
: vai de a , para cada temos de a , e para cada par , satisfaz :
-
: vai de a , para cada temos de a , e para cada , de a :
Passo 5
Finalmente duas ordens começando com
em primeiro lugar:
-
: para cada , vai de a e, dado , o varia de até . Em prática dividimos em dois pedaços:
-
: para , dado temos de até e, dado , de até :
Resposta
As seis formas iteradas são: