Esboce o sólido do primeiro octante limitado pelo gráficos das equações dadas, e calcule o seu volume
z=x^{2}+y^{2}, 2 x+3 y=6, x=0, y=0, z=0

Passo 1

O enunciado pede para esboçar e calcular o volume do sólido no primeiro octante limitado por
  1. A superfície z = x^{2}+y^{2} (paraboloide),
  2. A superfície 2x+3y=6 (plano vertical),
  3. Os planos coordenados x=0, y=0 e z=0.
    O conteúdo é cálculo de volume por dupla integração: projetamos o sólido no plano xy e calculamos
V=\iint_{D}(x^{2}+y^{2})\,dA.

Passo 2

A projeção D do sólido no plano xy é dada por
x\ge0,\quad y\ge0,\quad 2x+3y\le6.
No plano z=0 a reta 2x+3y=6 cruza os eixos em (3,0) e (0,2), então D é o triângulo de vértices (0,0), (3,0) e (0,2).

Passo 3

Vamos integrar primeiro em y e depois em x.
Os limites são
0\le x\le3,\qquad 0\le y\le\frac{6-2x}{3}.
Logo
V=\int_{x=0}^{3}\!\int_{y=0}^{\frac{6-2x}{3}}\!(x^{2}+y^{2})\,dy\,dx.

Passo 4

Calculemos a integral interna em y:
\int_{0}^{\frac{6-2x}{3}}(x^{2}+y^{2})\,dy =\int_{0}^{\frac{6-2x}{3}}x^{2}\,dy +\int_{0}^{\frac{6-2x}{3}}y^{2}\,dy =\frac{x^{2}(6-2x)}{3} +\left.\frac{y^{3}}{3}\right|_{0}^{\frac{6-2x}{3}} =\frac{x^{2}(6-2x)}{3} +\frac{1}{3}\Bigl(\frac{6-2x}{3}\Bigr)^{3}.
Então
V=\int_{0}^{3}\Bigl[\frac{x^{2}(6-2x)}{3} +\frac{1}{3}\Bigl(\frac{6-2x}{3}\Bigr)^{3}\Bigr]dx.

Passo 5

Separe em duas integrais:
I_{1}=\int_{0}^{3}\frac{x^{2}(6-2x)}{3}\,dx ,\quad I_{2}=\int_{0}^{3}\frac{1}{3}\Bigl(\frac{6-2x}{3}\Bigr)^{3}dx.
Para I_{1}:
\frac{1}{3}\int_{0}^{3}(6x^{2}-2x^{3})\,dx =\frac{1}{3}\Bigl[2x^{3}-\tfrac{1}{2}x^{4}\Bigr]_{0}^{3} =\frac{1}{3}\bigl(2\cdot27-\tfrac12\cdot81\bigr) =\frac{1}{3}(54-40{,}5) =\frac{13{,}5}{3} =4{,}5.
Para I_{2}, use u=6-2x, du=-2\,dx, quando x=0\to u=6, x=3\to u=0:
I_{2} =\int_{0}^{3}\frac{(6-2x)^{3}}{27\cdot3}\,dx =\frac{1}{81}\int_{0}^{3}(6-2x)^{3}\,dx =\frac{1}{81}\int_{6}^{0}u^{3}\Bigl(-\frac{du}{2}\Bigr) =\frac{1}{162}\int_{0}^{6}u^{3}\,du =\frac{1}{162}\cdot\frac{6^{4}}{4} =\frac{1296}{648} =2.
Logo
V=I_{1}+I_{2}=4{,}5+2=6{,}5=\frac{13}{2}.

Resposta

\displaystyle \frac{13}{2}

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