Esboce o sólido do primeiro octante limitado pelo gráficos das equações dadas, e calcule o seu volume
Passo 1
O enunciado pede para esboçar e calcular o volume do sólido no primeiro octante limitado por
- A superfície
(paraboloide), - A superfície
(plano vertical), - Os planos coordenados
, e .
O conteúdo é cálculo de volume por dupla integração: projetamos o sólido no planoe calculamos
Passo 2
A projeção
do sólido no plano
é dada por
No plano
a reta
cruza os eixos em
e
, então
é o triângulo de vértices
,
e
.
Passo 3
Vamos integrar primeiro em
e depois em
.
Os limites são
Os limites são
Logo
Passo 4
Calculemos a integral interna em
:
Então
Passo 5
Separe em duas integrais:
Para
:
Para
, use
,
, quando
,
:
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