Em cada um dos integrais seguintes, identifique o domínio de integração, escreva, se possível, os integrais dados por uma ordem de integração diferente, e calcule-os
\int_{0}^{2} \int_{0}^{2 \sqrt{x}} \int_{0}^{\frac{\sqrt{4 x-y^{2}}}{2}} x d z d y d x;

Passo 1

O enunciado dá o integral iterado
\int_{0}^{2} \int_{0}^{2 \sqrt{x}} \int_{0}^{\frac{\sqrt{4 x-y^{2}}}{2}} x \, d z \, d y \, d x
e pede: (1) identificar o domínio de integração, (2) escrever, se possível, o mesmo integral com uma ordem de integração diferente e (3) calcular o valor do integral. As informações relevantes são:
  • A variável externa varia em \,0\le x\le 2.
  • Para cada x dado, \,0\le y\le 2\sqrt{x}.
  • Para cada x,y dados, \,0\le z\le \dfrac{\sqrt{4x-y^{2}}}{2}.
  • O integrando é x, ou seja, independe de y e z.

Passo 2

Vamos descrever o domínio D no espaço (x,y,z) usando as desigualdades dadas pelo enunciado. As condições fornecidas são
0\le x\le 2,\qquad 0\le y\le 2\sqrt{x},\qquad 0\le z\le \frac{\sqrt{4x-y^{2}}}{2}.
A desigualdade para z pode ser manipulada para eliminar a raiz: 0\le z\le \dfrac{\sqrt{4x-y^{2}}}{2} é equivalente a
0\le 4z^{2}\le 4x-y^{2}\quad\Longleftrightarrow\quad y^{2}+4z^{2}\le 4x.
Portanto o domínio D é o conjunto
D=\{(x,y,z)\mid 0\le x\le 2,\;0\le y,\;0\le z,\; y^{2}+4z^{2}\le 4x\}.
Uma outra maneira útil de descrever D é inverter a desigualdade para dar x em função de y e z. Da desigualdade acima obtemos
x\ge \frac{y^{2}+4z^{2}}{4}.
Como também x\le 2, para que exista x válido precisamos de \dfrac{y^{2}+4z^{2}}{4}\le 2, isto é y^{2}+4z^{2}\le 8. Assim, podemos escrever o domínio como
D=\left\{(x,y,z)\mid 0\le z\le \sqrt{2},\;0\le y\le 2\sqrt{2-z^{2}},\;\frac{y^{2}+4z^{2}}{4}\le x\le 2\right\}.
(Neste passo apenas reescrevemos o domínio, sem calcular integrais.)

Passo 3

Escrever o integral nas ordens de integração possíveis (algumas escolhas naturais):
  • Ordem original ( dz\,dy\,dx):
\int_{x=0}^{2}\int_{y=0}^{2\sqrt{x}}\int_{z=0}^{\frac{\sqrt{4x-y^{2}}}{2}} x \, dz\, dy\, dx.
  • Ordem dx\,dy\,dz (usando a descrição do domínio obtida no Passo 2):
\int_{z=0}^{\sqrt{2}}\int_{y=0}^{2\sqrt{2-z^{2}}}\int_{x=\frac{y^{2}+4z^{2}}{4}}^{2} x \, dx\, dy\, dz.
Esta ordem é válida porque para cada (y,z) com 0\le z\le\sqrt{2} e 0\le y\le 2\sqrt{2-z^{2}} o x varia de \dfrac{y^{2}+4z^{2}}{4} até 2.
(Outras ordens também são possíveis, mas as duas acima já mostram a reescrita solicitada.)

Passo 4

Agora calculamos o integral na ordem dada originalmente (mais direto aqui). Primeiro integramos em z, com x e y vistos como constantes:
\int_{z=0}^{\frac{\sqrt{4x-y^{2}}}{2}} x \, dz = x\left[z\right]_{0}^{\frac{\sqrt{4x-y^{2}}}{2}} = x\cdot\frac{\sqrt{4x-y^{2}}}{2}.
Portanto o integral triplo reduz-se a
\int_{x=0}^{2}\int_{y=0}^{2\sqrt{x}} x\cdot\frac{\sqrt{4x-y^{2}}}{2}\, dy\, dx =\frac{1}{2}\int_{x=0}^{2} x\left(\int_{y=0}^{2\sqrt{x}} \sqrt{4x-y^{2}}\, dy\right) dx.

Passo 5

Precisamos calcular o integral em y:
I(x):=\int_{0}^{2\sqrt{x}} \sqrt{4x-y^{2}}\, dy,
onde x\ge 0 é tratado como constante. Para esse tipo de integral é clássico usar a substituição trigonométrica
y = 2\sqrt{x}\sin\theta,
então dy = 2\sqrt{x}\cos\theta\, d\theta. Quando y=0 temos \theta=0; quando y=2\sqrt{x} temos \theta=\tfrac{\pi}{2}. Além disso
\sqrt{4x-y^{2}} = \sqrt{4x - 4x\sin^{2}\theta} = 2\sqrt{x}\cos\theta.
Substituindo em I(x):
I(x)=\int_{0}^{\pi/2} \big(2\sqrt{x}\cos\theta\big)\cdot\big(2\sqrt{x}\cos\theta\big)\, d\theta =\int_{0}^{\pi/2} 4x\cos^{2}\theta\, d\theta.
Usamos a identidade \cos^{2}\theta=\dfrac{1+\cos 2\theta}{2}, então
I(x)=4x\int_{0}^{\pi/2}\frac{1+\cos 2\theta}{2}\, d\theta =2x\left[\theta+\frac{\sin 2\theta}{2}\right]_{0}^{\pi/2}.
Avaliar os limites: \theta\big|_{0}^{\pi/2}=\tfrac{\pi}{2} e \sin 2\theta\big|_{0}^{\pi/2}=0. Logo
I(x)=2x\cdot\frac{\pi}{2}=\pi x.
Comentário rápido: geometricamente este resultado também faz sentido porque \int_{0}^{a}\sqrt{a^{2}-y^{2}}\,dy é a área de um quarto de círculo de raio a; aqui a=2\sqrt{x} e a área é \tfrac{\pi a^{2}}{4}=\tfrac{\pi(4x)}{4}=\pi x.

Passo 6

Substituindo I(x)=\pi x no integral reduzido do Passo 4 obtemos
\frac{1}{2}\int_{0}^{2} x\big(\pi x\big)\, dx =\frac{\pi}{2}\int_{0}^{2} x^{2}\, dx.
Calculamos a integral em x:
\int_{0}^{2} x^{2}\, dx = \left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{2} = \frac{8}{3}.
Portanto o valor do integral é
\frac{\pi}{2}\cdot\frac{8}{3}=\frac{4\pi}{3}.

Resposta

\dfrac{4\pi}{3}

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