Em cada um dos integrais seguintes, identifique o domínio de integração, escreva, se possível, os integrais dados por uma ordem de integração diferente, e calcule-os \int_{0}^{2} \int_{0}^{2 \sqrt{x}} \int_{0}^{\frac{\sqrt{4 x-y^{2}}}{2}} x d z d y d x;
Passo 1
O enunciado dá o integral iterado
\int_{0}^{2} \int_{0}^{2 \sqrt{x}} \int_{0}^{\frac{\sqrt{4 x-y^{2}}}{2}} x \, d z \, d y \, d x
e pede: (1) identificar o domínio de integração, (2) escrever, se possível, o mesmo integral com uma ordem de integração diferente e (3) calcular o valor do integral. As informações relevantes são:
A variável externa varia em \,0\le x\le 2.
Para cada x dado, \,0\le y\le 2\sqrt{x}.
Para cada x,y dados, \,0\le z\le \dfrac{\sqrt{4x-y^{2}}}{2}.
O integrando é x, ou seja, independe de y e z.
Passo 2
Vamos descrever o domínio D no espaço (x,y,z) usando as desigualdades dadas pelo enunciado. As condições fornecidas são
Uma outra maneira útil de descrever D é inverter a desigualdade para dar x em função de y e z. Da desigualdade acima obtemos
x\ge \frac{y^{2}+4z^{2}}{4}.
Como também x\le 2, para que exista x válido precisamos de \dfrac{y^{2}+4z^{2}}{4}\le 2, isto é y^{2}+4z^{2}\le 8. Assim, podemos escrever o domínio como
Avaliar os limites: \theta\big|_{0}^{\pi/2}=\tfrac{\pi}{2} e \sin 2\theta\big|_{0}^{\pi/2}=0. Logo
I(x)=2x\cdot\frac{\pi}{2}=\pi x.
Comentário rápido: geometricamente este resultado também faz sentido porque \int_{0}^{a}\sqrt{a^{2}-y^{2}}\,dy é a área de um quarto de círculo de raio a; aqui a=2\sqrt{x} e a área é \tfrac{\pi a^{2}}{4}=\tfrac{\pi(4x)}{4}=\pi x.
Passo 6
Substituindo I(x)=\pi x no integral reduzido do Passo 4 obtemos