Em cada um dos integrais seguintes, identifique o domínio de integração, escreva, se possível, os integrais dados por uma ordem de integração diferente, e calcule-os \int_{0}^{1} \int_{0}^{\sqrt{1-x^{2}}} \int_{2+x^{2}+y^{2}}^{3} d z d y d x;
e pede três coisas: identificar o domínio de integração, escrever (se possível) o(s) integral(is) com ordem de integração diferente, e calcular o valor numérico. Informação importante que o enunciado dá e que vamos usar sem resolver ainda:
limites em x: 0\le x\le 1;
limites em y: 0\le y\le \sqrt{1-x^{2}} (peguei este dado da fórmula do integral);
limites em z: 2+x^{2}+y^{2}\le z\le 3 (peguei este dado do enunciado);
integrando é 1 (pois só aparece dz\,dy\,dx).
A resolução começa agora.
Passo 2
Vamos identificar geometricamente o domínio. Primeiro projetamos o sólido no plano xy (ou seja, integraremos sobre a região onde x e y variam):
a condição 0\le y\le \sqrt{1-x^{2}} com 0\le x\le1 significa que (x,y) está dentro do disco x^{2}+y^{2}\le 1 e, além disso, x\ge 0 e y\ge 0. Portanto a projeção no plano xy é o quarto de disco de raio 1 no primeiro quadrante. Em forma de conjunto:
D=\{(x,y)\mid x\ge0,\;y\ge0,\;x^{2}+y^{2}\le 1\}.
Agora, para cada ponto (x,y)\in D o z varia entre z=2+x^{2}+y^{2} (uma superfície paraboloide) e z=3 (plano horizontal). Assim o sólido E é
Aqui eu usei a propriedade básica: integrar 1 em z entre duas curvas dá a diferença das cotações; isto representa a “espessura” em z para cada (x,y).
Passo 4
Este integral duplo fica muito mais simples em coordenadas polares. Lembrete rápido e didático das coordenadas polares:
x = r\cos\theta, y = r\sin\theta;
x^{2}+y^{2}=r^{2};
o elemento de área dA transforma-se em r\,dr\,d\theta (isso vem do jacobiano da transformação; pense no pequeno retângulo em r,\theta que tem área aproximada r\,dr\,d\theta).
Na nossa região D (quarto de disco de raio 1 no primeiro quadrante) temos:
Escrever alternativas de ordem de integração (mostro duas formas diferentes, ambas corretas). Lembre que eu usei a informação dos limites do enunciado para montar estas formas.
Trocar a ordem dx e dy (mesma estrutura dz\,dx\,dy ou dz\,dy\,dx em cartesiano):
isto é simplesmente a mesma região D escrita trocando x e y (a região é simétrica).
Colocar z como variável mais externa (aqui escrevo em coordenadas polares, o que fica natural): para z fixo entre 2 e 3 a projeção no plano xy é o quarto de disco de raio \sqrt{z-2}. Assim
Todas as expressões acima descrevem o mesmo sólido E; escolhi a forma polar para z por último porque a relação entre r e z fica simples: r\le\sqrt{z-2}.
Passo 7
Verificação rápida alternativa (checagem mental): se eu pensar em fatias horizontais em z, para cada z\in[2,3] a seção tem área do quarto de disco de raio \sqrt{z-2}, ou seja área \frac{\pi}{4}(z-2). Integrando essa área em z de 2 a 3 dá
coincidindo com o resultado anterior. Bom sinal: resultado consistente.
Resposta
Domínio: \{(x,y,z)\mid x\ge0,\;y\ge0,\;x^{2}+y^{2}\le1,\;2+x^{2}+y^{2}\le z\le3\}
Alternativas de ordem: \displaystyle \int_{0}^{1}\int_{0}^{\sqrt{1-y^{2}}}\int_{2+x^{2}+y^{2}}^{3} dz\,dx\,dy e \displaystyle \int_{2}^{3}\int_{0}^{\pi/2}\int_{0}^{\sqrt{z-2}} r\,dr\,d\theta\,dz
Valor do integral: \displaystyle \frac{\pi}{8}