Em cada um dos integrais seguintes, identifique o domínio de integração, escreva, se possível, os integrais dados por uma ordem de integração diferente, e calcule-os
\int_{0}^{1} \int_{0}^{\sqrt{1-x^{2}}} \int_{2+x^{2}+y^{2}}^{3} d z d y d x;

Passo 1

O enunciado dá o integral triple
\int_{0}^{1}\int_{0}^{\sqrt{1-x^{2}}}\int_{2+x^{2}+y^{2}}^{3} dz\,dy\,dx,
e pede três coisas: identificar o domínio de integração, escrever (se possível) o(s) integral(is) com ordem de integração diferente, e calcular o valor numérico. Informação importante que o enunciado dá e que vamos usar sem resolver ainda:
  • limites em x: 0\le x\le 1;
  • limites em y: 0\le y\le \sqrt{1-x^{2}} (peguei este dado da fórmula do integral);
  • limites em z: 2+x^{2}+y^{2}\le z\le 3 (peguei este dado do enunciado);
  • integrando é 1 (pois só aparece dz\,dy\,dx).
    A resolução começa agora.

Passo 2

Vamos identificar geometricamente o domínio. Primeiro projetamos o sólido no plano xy (ou seja, integraremos sobre a região onde x e y variam):
  • a condição 0\le y\le \sqrt{1-x^{2}} com 0\le x\le1 significa que (x,y) está dentro do disco x^{2}+y^{2}\le 1 e, além disso, x\ge 0 e y\ge 0. Portanto a projeção no plano xy é o quarto de disco de raio 1 no primeiro quadrante. Em forma de conjunto:
D=\{(x,y)\mid x\ge0,\;y\ge0,\;x^{2}+y^{2}\le 1\}.
Agora, para cada ponto (x,y)\in D o z varia entre z=2+x^{2}+y^{2} (uma superfície paraboloide) e z=3 (plano horizontal). Assim o sólido E é
E=\{(x,y,z)\mid (x,y)\in D,\;2+x^{2}+y^{2}\le z\le 3\}.

Passo 3

Primeiro passo de cálculo: integrar em z (a integral interior). Como o integrando é 1,
\int_{2+x^{2}+y^{2}}^{3} dz = 3 - (2+x^{2}+y^{2}) = 1 - x^{2} - y^{2}.
Portanto o integral triple reduz-se ao integral duplo sobre D da função 1-x^{2}-y^{2}:
\int_{0}^{1}\int_{0}^{\sqrt{1-x^{2}}}\int_{2+x^{2}+y^{2}}^{3} dz\,dy\,dx = \iint_{D} \bigl(1 - x^{2} - y^{2}\bigr)\,dA.
Aqui eu usei a propriedade básica: integrar 1 em z entre duas curvas dá a diferença das cotações; isto representa a “espessura” em z para cada (x,y).

Passo 4

Este integral duplo fica muito mais simples em coordenadas polares. Lembrete rápido e didático das coordenadas polares:
  • x = r\cos\theta, y = r\sin\theta;
  • x^{2}+y^{2}=r^{2};
  • o elemento de área dA transforma-se em r\,dr\,d\theta (isso vem do jacobiano da transformação; pense no pequeno retângulo em r,\theta que tem área aproximada r\,dr\,d\theta).
    Na nossa região D (quarto de disco de raio 1 no primeiro quadrante) temos:
0\le r\le 1,\qquad 0\le \theta\le \frac{\pi}{2}.
Substituindo no integral:
\iint_{D} (1 - x^{2} - y^{2})\,dA = \int_{\theta=0}^{\pi/2}\int_{r=0}^{1} \bigl(1 - r^{2}\bigr)\, r\,dr\,d\theta.

Passo 5

Agora calculamos passo a passo a integral em r:
\int_{0}^{1} (1 - r^{2})\,r\,dr = \int_{0}^{1} (r - r^{3})\,dr.
Calculemos primitivando termo a termo:
\int_{0}^{1} r\,dr = \left[\frac{r^{2}}{2}\right]_{0}^{1} = \frac{1}{2}, \qquad \int_{0}^{1} r^{3}\,dr = \left[\frac{r^{4}}{4}\right]_{0}^{1} = \frac{1}{4}.
Subtraindo:
\int_{0}^{1} (r - r^{3})\,dr = \frac{1}{2} - \frac{1}{4} = \frac{1}{4}.
Agora integramos em \theta:
\int_{0}^{\pi/2} \frac{1}{4}\,d\theta = \frac{1}{4}\cdot \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{8}.
Portanto o valor do integral triple é \pi/8.

Passo 6

Escrever alternativas de ordem de integração (mostro duas formas diferentes, ambas corretas). Lembre que eu usei a informação dos limites do enunciado para montar estas formas.
  1. Trocar a ordem dx e dy (mesma estrutura dz\,dx\,dy ou dz\,dy\,dx em cartesiano):
\int_{0}^{1}\int_{0}^{\sqrt{1-y^{2}}}\int_{2+x^{2}+y^{2}}^{3} dz\,dx\,dy,
isto é simplesmente a mesma região D escrita trocando x e y (a região é simétrica).
  1. Colocar z como variável mais externa (aqui escrevo em coordenadas polares, o que fica natural): para z fixo entre 2 e 3 a projeção no plano xy é o quarto de disco de raio \sqrt{z-2}. Assim
\int_{z=2}^{3}\int_{\theta=0}^{\pi/2}\int_{r=0}^{\sqrt{\,z-2\,}} r\,dr\,d\theta\,dz.
Se preferir em coordenadas cartesianas com z externo:
\int_{z=2}^{3}\int_{x=0}^{\sqrt{z-2}}\int_{y=0}^{\sqrt{\,z-2-x^{2}\,}} dy\,dx\,dz.
Todas as expressões acima descrevem o mesmo sólido E; escolhi a forma polar para z por último porque a relação entre r e z fica simples: r\le\sqrt{z-2}.

Passo 7

Verificação rápida alternativa (checagem mental): se eu pensar em fatias horizontais em z, para cada z\in[2,3] a seção tem área do quarto de disco de raio \sqrt{z-2}, ou seja área \frac{\pi}{4}(z-2). Integrando essa área em z de 2 a 3
\int_{2}^{3} \frac{\pi}{4}(z-2)\,dz = \frac{\pi}{4}\cdot\frac{(z-2)^{2}}{2}\Big|_{2}^{3} = \frac{\pi}{4}\cdot\frac{1}{2}=\frac{\pi}{8},
coincidindo com o resultado anterior. Bom sinal: resultado consistente.

Resposta

Domínio: \{(x,y,z)\mid x\ge0,\;y\ge0,\;x^{2}+y^{2}\le1,\;2+x^{2}+y^{2}\le z\le3\}
Alternativas de ordem: \displaystyle \int_{0}^{1}\int_{0}^{\sqrt{1-y^{2}}}\int_{2+x^{2}+y^{2}}^{3} dz\,dx\,dy e \displaystyle \int_{2}^{3}\int_{0}^{\pi/2}\int_{0}^{\sqrt{z-2}} r\,dr\,d\theta\,dz
Valor do integral: \displaystyle \frac{\pi}{8}

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