Cada integral abaixo representa o volume de um sólido de revolução. Esboce a região plana e determine o eixo de revolução e o método utilizado para o cálculo do volume.
Passo 1
A integral dada é
, que representa o volume de um sólido de revolução. O conteúdo da matéria é volume por métodos de cálculo de sólidos gerados por revolução e, para resolver, vamos comparar com as fórmulas conhecidas (casca cilíndrica e discos/arrodechados).
Passo 2
Observando o integrando no formato
, vemos que se trata do método das cascas cilíndricas em função de
. A variável de integração
vai de 0 a 1.
Para o método das cascas cilíndricas:
Para o método das cascas cilíndricas:
- A altura da casca vem da extensão horizontal da região em cada
, ou seja, . - O raio da casca é a distância vertical entre o elemento
e o eixo de revolução. Como aparece , temos raio . Logo o eixo de revolução é a reta horizontal .
Passo 3
A região plana geradora do sólido é limitada pelas curvas e retas:
- acima e abaixo por
e , - à esquerda pelo eixo
, - à direita pela parábola
.
Passo 4
Para esboçar: desenhe o gráfico de
entre
e
, marque
e o intervalo de
, e a seguir desenhe a reta de revolução
.
Resposta
Eixo de revolução: reta horizontal y=3; Método de cálculo de volume: cascas cilíndricas (shell method).