Cada integral abaixo representa o volume de um sólido de revolução. Esboce a região plana e determine o eixo de revolução e o método utilizado para o cálculo do volume.

Passo 1

A integral dada é integral0^12pi,(3-y),(1-y^2),dy, que representa o volume de um sólido de revolução. O conteúdo da matéria é volume por métodos de cálculo de sólidos gerados por revolução e, para resolver, vamos comparar com as fórmulas conhecidas (casca cilíndrica e discos/arrodechados).

Passo 2

Observando o integrando no formato 2pitimesraiotimesa, vemos que se trata do método das cascas cilíndricas em função de y. A variável de integração y vai de 0 a 1.
Para o método das cascas cilíndricas:
  • A altura da casca vem da extensão horizontal da região em cada y, ou seja, xdir-xesq=(1-y^2)-0=1-y^2.
  • O raio da casca é a distância vertical entre o elemento y e o eixo de revolução. Como aparece 3-y, temos raio r=|y-3|=3-y. Logo o eixo de revolução é a reta horizontal y=3.

Passo 3

A região plana geradora do sólido é limitada pelas curvas e retas:
  • acima e abaixo por y=1 e y=0,
  • à esquerda pelo eixo x=0,
  • à direita pela parábola x=1-y^2.

Passo 4

Para esboçar: desenhe o gráfico de x=1-y^2 entre y=0 e y=1, marque x=0 e o intervalo de y, e a seguir desenhe a reta de revolução y=3.

Resposta

Eixo de revolução: reta horizontal y=3; Método de cálculo de volume: cascas cilíndricas (shell method).

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