Derive e simplifique.
g(x)=(cos raiz[3]x-sen raiz[3]x)^3

Passo 1

O enunciado pede para derivar e simplificar a função g(x) = (cosraiz[3]x - sinraiz[3]x)^3. Vamos usar regra da cadeia e regra do poder.

Passo 2

Definimos uma variável intermediária t = raiz[3]x = x^1/3 e outra u = cos t - sin t, de modo que g(x) = u^3. Pela regra do poder e da cadeia, temos g'(x) = 3u^2 cdot u'.

Passo 3

Calculamos u'. Como u = cos t - sin t,
u' = -sin t cdot t' - cos t cdot t' = -(sin t + cos t),t'.
Agora derivamos t = x^1/3. Pela regra de potência,
t' = 13x^-2/3.

Passo 4

Substituindo u, u' e t' em g':
g'(x) = 3(cos t - sin t)^2 l[-(sin t + cos t),tfrac13x^-2/3r].
Os fatores 3 e 1/3 se cancelam, ficando
g'(x) = - (cos t - sin t)^2 (sin t + cos t),x^-2/3.
Por fim, voltamos a t = raiz[3]x.

Resposta

-dfrac(cos(raiz[3]x) - sin(raiz[3]x))^2,(cos(raiz[3]x) + sin(raiz[3]x))x^2/3

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