Derive e simplifique.

Passo 1

O enunciado pede para derivar e simplificar a função g(v)=11+cos^2(2v). Vamos usar regra da cadeia e as derivadas conhecidas de potências e de cos(x).

Passo 2

Primeiro, reescrevemos g(v) como potência:
g(v) = (1 + cos^2(2v))^-1
Isso facilita a aplicação da regra da cadeia.

Passo 3

Aplicamos a derivada da função externa. Se u(v)=1+cos^2(2v), então a derivada de u^-1 é
ddvl(u^-1r) = -1cdot u^-2cdot u',

Passo 4

Agora calculamos a derivada de u(v)=1+cos^2(2v). A parte constante some, sobrando a derivada de cos^2(2v). Usando a regra da cadeia:
ddvl(cos^2(2v)r) = 2cos(2v) cdot ddvl(cos(2v)r)
E
ddvl(cos(2v)r) = -sin(2v)cdot 2 = -2sin(2v)
Logo,
ddvl(cos^2(2v)r) = 2cos(2v)cdot(-2sin(2v)) = -4cos(2v)sin(2v)

Passo 5

Reconhecemos que 2cos(2v)sin(2v) = sin(4v). Assim,
-4cos(2v)sin(2v) = -2sin(4v)
Logo,
u'(v) = -2sin(4v)

Passo 6

Substituindo tudo na regra da cadeia:
g'(v) = - (1 + cos^2(2v))^-2 times (-2sin(4v)) = 2sin(4v)(1+cos^2(2v))^2

Resposta

g'(v) = 2sin(4v)(1+cos^2(2v))^2

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