Cada integral abaixo representa o volume de um sólido de revolução. Esboce a região plana e determine o eixo de revolução e o método utilizado para o cálculo do volume.
Passo 1
O enunciado dá a integral π ∫₀^{π/2} cos²x dx, que representa volume de um sólido de revolução gerado por uma região plana definida por y=cos x no intervalo x∈[0,π/2]. Vamos usar conceitos de volume por cortes transversais.
Passo 2
Esboce a região no plano xy: trace a curva y=cos x de x=0 (onde y=1) até x=π/2 (onde y=0), marque as retas verticais x=0 e x=π/2 e o eixo x. A região é a àrea limitada por essa curva e o eixo x.
Passo 3
Para que a fórmula venha na forma π ∫ [f(x)]² dx, o eixo de revolução é o próprio eixo x. Cada fatia na posição x gera um disco de raio y=cos x girando em torno do eixo x.
Passo 4
Como não há orifício interno (a região atinge o eixo x), usamos o método dos discos: o volume é dado por V=π ∫₀^{π/2}[cos x]² dx.
Resposta
Região sob y=cos x para x∈[0,π/2], girada em torno do eixo x, usando o método dos discos.