Nos problemas a seguir calcule
d wd t
de duas maneiras: primeiro, usando a regra da cadeia e obtendo o resultado em função de t; em seguida substituindo e depois derivando.
(w(x, y, z)=x y+x z+y z
x(t)=3 t^2, y(t)=e^t, z(t)=e^-t

Passo 1

O enunciado pede para calcular tfracdwdt para w(x,y,z)=xy+xz+yz onde x=3t^2, y=e^t e z=e^-t. A tarefa é fazer isso de duas maneiras: primeiro usando a regra da cadeia e expressando em função de t, e depois obtendo w(t) e diferenciando diretamente.

Passo 2

Pela regra da cadeia temos a fórmula
dwdt=wx,x'(t)+wy,y'(t)+wz,z'(t)
Então vamos achar as derivadas parciais e as derivadas das componentes:

Passo 3

As derivadas parciais são
wx=partialpartial x(xy+xz+yz)=y+z, wy= x+z, wz= x+y,
e as derivadas das funções de t são
x'(t)=6t, y'(t)=e^t, z'(t)=-e^-t

Passo 4

Substituindo na regra da cadeia:
dwdt=(y+z),6t+(x+z),e^t+(x+y)(-e^-t)
Ainda em termos de x,y,z.

Passo 5

Agora substituímos x=3t^2, y=e^t e z=e^-t e simplificamos:
dwdt=(e^t+e^-t)6t+(3t^2+e^-t)e^t-(3t^2+e^t)e^-t
Expandindo e cancelando termos:
dwdt=6t e^t+6t e^-t+3t^2e^t+1-3t^2e^-t-1 =(3t^2+6t)e^t+(6t-3t^2)e^-t

Passo 6

Para conferir, vamos ao segundo método: primeiro calculemos w(t):
w(t)=3t^2e^t+3t^2e^-t+e^t e^-t=3t^2e^t+3t^2e^-t+1

Passo 7

Derivando w(t) diretamente:
  • Para 3t^2e^t: derivada é 6t e^t+3t^2e^t.
  • Para 3t^2e^-t: derivada é 6t e^-t-3t^2e^-t.
  • Para a constante 1: derivada é 0.
    Somando tudo dá exatamente
(3t^2+6t)e^t+(6t-3t^2)e^-t,
que coincide com o resultado pelo método da cadeia.

Resposta

(3t^2+6t)e^t+(6t-3t^2)e^-t

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