Nos problemas a seguir calcule
de duas maneiras: primeiro, usando a regra da cadeia e obtendo o resultado em função de
; em seguida substituindo e depois derivando.
(w(x, y, z)=x y+x z+y z
(w(x, y, z)=x y+x z+y z
Passo 1
O enunciado pede para calcular
para
onde
,
e
. A tarefa é fazer isso de duas maneiras: primeiro usando a regra da cadeia e expressando em função de
, e depois obtendo
e diferenciando diretamente.
Passo 2
Pela regra da cadeia temos a fórmula
Então vamos achar as derivadas parciais e as derivadas das componentes:
Passo 3
As derivadas parciais são
e as derivadas das funções de
são
Passo 4
Substituindo na regra da cadeia:
Ainda em termos de
.
Passo 5
Agora substituímos
,
e
e simplificamos:
Expandindo e cancelando termos:
Passo 6
Para conferir, vamos ao segundo método: primeiro calculemos
:
Passo 7
Derivando
diretamente:
- Para
: derivada é . - Para
: derivada é . - Para a constante
: derivada é .
Somando tudo dá exatamente
que coincide com o resultado pelo método da cadeia.