Complete com (V)erdadeiro ou (F)also e justifique quando falso.
& & l l Todo campo conservativo é irrotacional Todo campo vetorial é imcompressível A divergência do gradiente de um campo escalar é um campo vetorial O diver>=nte de um campo vetorial é um campo vetorial O rotacional de um campo vetorial é um campo vetorial O gradiente de um campo escalar é um campo vetorial O laplaciano de um campo escalar é um campo vetorial O gradiente de f g é f nabla g+g nabla f A divergência de f G é f nabla cdot G+G nabla f & Bom Estudo! ééíêééééééêé

Passo 1

Vamos resumir rapidinho o que o exercício pede: classificar várias afirmações sobre operadores vetoriais (gradiente, divergência, rotacional, laplaciano) e regras de produto. Para isso precisamos lembrar das definições: campo conservativo é aquele que pode ser escrito como F=nabla phi, divergência nablacdot F produz escalar, rotacional nablatimes F produz vetor, gradiente nabla f produz vetor, laplaciano nablacdotnabla f produz escalar, e as regras de produto para nabla(fg) e nablacdot(f G).

Passo 2

Um campo é dito conservativo se existir um potencial phi tal que F=nablaphi. Aí o rotacional dele é sempre zero:
nablatimes F=nablatimes(nablaphi)=0
Logo, todo campo conservativo é irrotacional. Verdadeiro.

Passo 3

O operador divergência leva um campo vetorial a um escalar. Isso significa que tanto nablacdot(nabla f) quanto nablacdot G são funções escalares, nunca vetoriais. Portanto as afirmações “a divergência do gradiente é um campo vetorial” e “o divergente de um campo vetorial é um campo vetorial” são falsas.

Passo 4

Incompressibilidade significa ter divergência zero, nablacdot F=0. Nem todo campo vetorial satisfaz isso. Por exemplo, F=(x,0,0) tem nablacdot F=1ne0. Logo, “todo campo vetorial é imcompressível” é falso.

Passo 5

O rotacional de um campo vetorial em R^3 é definido como
nablatimes F=(partialyFz-partialzFy,,partialzFx-partialxFz,,partialxFy-partialyFx),
o que resulta num vetor. A afirmação é verdadeira.

Passo 6

O gradiente de um escalar f é por definição o vetor
nabla f=(partialxf,partialyf,partialzf),
então sempre dá um campo vetorial. Aí a regra de produto também vale:
nabla(fg)=fnabla g+gnabla f
Portanto, “o gradiente de um campo escalar é um campo vetorial” e “ nabla(fg)=fnabla g+gnabla f” são verdadeiros.

Passo 7

O laplaciano de um escalar f é definido como divergência do gradiente,
De
o que também gera um escalar. Logo, “o laplaciano de um campo escalar é um campo vetorial” é falso.

Passo 8

A regra do produto para divergência é
nablacdot(f G)=f,nablacdot G+ Gcdotnabla f
Isso mostra que “a divergência de f G é fnablacdot G+ Gnabla f” é verdadeiro.

Resposta

  1. V; 2) F; 3) F; 4) F; 5) V; 6) V; 7) F; 8) V; divergência de f G: V.

Exercícios relacionados