Cada integral abaixo representa o volume de um sólido de revolução. Esboce a região plana e determine o eixo de revolução e o método utilizado para o cálculo do volume.
Passo 1
A questão nos dá a integral
e pede: esboçar a região plana, identificar o eixo de revolução e o método de cálculo de volume. Esse é um problema de volume de sólidos por revolução usando integração em
.
Passo 2
Quando usamos o método de anéis (ou discos com furo), a fórmula geral em termos de
é
Comparando com
, vemos que
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Passo 3
Para esboçar a região plana no plano
, trace as curvas
e
no intervalo . A região fica entre essas duas curvas, fechada por
e
. Num esboço, a curva
cresce mais rápido para
, mas até
ainda faz parte da região delimitada.
e
no intervalo
Passo 4
Como a integral está em
e as funções
e
medem distância ao eixo vertical, concluímos que o sólido é obtido girando essa região em torno do eixo
. O método utilizado é o dos anéis (ou discos com casquinha), pois subtraímos a área do furo interno (raio
) da área do disco externo (raio
).
Resposta
Região: conjunto de pontos entre as curvas x=y² e x=y⁴ para 0≤y≤4, limitado por y=0 e y=4
Eixo de revolução: eixo y
Método: método dos anéis (discos com furo)
Eixo de revolução: eixo y
Método: método dos anéis (discos com furo)