Cada integral abaixo representa o volume de um sólido de revolução. Esboce a região plana e determine o eixo de revolução e o método utilizado para o cálculo do volume.

Passo 1

A questão nos dá a integral piintegral0^4(y^4 - y^8),dy e pede: esboçar a região plana, identificar o eixo de revolução e o método de cálculo de volume. Esse é um problema de volume de sólidos por revolução usando integração em y.

Passo 2

Quando usamos o método de anéis (ou discos com furo), a fórmula geral em termos de y é
V ,=, piintegraly=a^y=bl[R(y)^2 - r(y)^2r],dy
Comparando com piintegral0^4(y^4 - y^8),dy, vemos que
R(y)^2 = y^4, r(y)^2 = y^8
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R(y) = y^2, r(y) = y^4

Passo 3

Para esboçar a região plana no plano xy, trace as curvas
0 <= y <= 4
e
y=0
no intervalo y=4. A região fica entre essas duas curvas, fechada por x=y^4 e y>1. Num esboço, a curva y=4 cresce mais rápido para , mas até ainda faz parte da região delimitada.

Passo 4

Como a integral está em y e as funções R(y) e r(y) medem distância ao eixo vertical, concluímos que o sólido é obtido girando essa região em torno do eixo y. O método utilizado é o dos anéis (ou discos com casquinha), pois subtraímos a área do furo interno (raio r(y)) da área do disco externo (raio R(y)).

Resposta

Região: conjunto de pontos entre as curvas x=y² e x=y⁴ para 0≤y≤4, limitado por y=0 e y=4
Eixo de revolução: eixo y
Método: método dos anéis (discos com furo)

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